重积分综述
单变量积分基于黎曼和，黎曼和涉及一个分割，以及小分割宽度与某个函数乘积之和。单变量情形下，分割当然是在一个区间上。
二重积分
在多变量情形下，比如二元函数，我们先考虑最简单的例子。在$xy$平面上，函数$f(x, y)$定义在一个矩形域：
$$R: a \leq b, c \leq d$$
设想，$R$被分别平行于$x$轴和$y$轴的直线网格覆盖，这些网格将定义域分割为若干小块，小块面积记为$\Delta A = \Delta x \Delta y$，在每个小块面积上选点$(x, y)$，作和：
$$S_n = \sum_{k=1}^{n}f(x_k, y_k)\Delta A_k$$
可以看到该和与黎曼和的定义如出一辙。当网格的长与宽皆趋于零时，该和趋近于一极限值，该极限称为$f$在$R$上的二重积分，记为
$$\iint f(x, y)dA，或 \iint_R f(x, y) dxdy$$
二重积分的性质
除了一般的数乘、和差、优势关系，二重积分还满足区域可加性，对于两个非交叠矩形域，总的积分等于两个区域上的积分之和。
二重积分与体积
就像定积分自然地对应于曲边梯形的面积，二重积分对应于棱柱体的体积。
计算二重积分的富比尼定理
富比尼（Guido Fubini）于1907年发表的一个定理证明了矩形域上任一个连续函数的二重积分都可用累次积分的任一种次序计算。
有界非矩形域上的二重积分
此时可应用较强形式的富比尼定理，详见12.1的定理2。
三重积分
简言之，亦有类似的富比尼定理。
TODO
本章内容，暂时从略，需要时再补。