初听，“普通话”令人震惊。

1、导语：跟你的焦虑和解

焦虑，带着我们过去生活的匮乏，也带着对未来的担心和希望。焦虑的本质就是一种失控感。担心某些东西不在掌控范围内。担心上帝或命运不会善待我们，以至于忘了我们本能够掌控一些东西。

即使在二战集中营这样的环境，我们依然能作出选择。那么理论上，我们的生活中也可以做出不同的选择。

焦虑源于失控感，而失控感源于我们总是试图去控制那些我们控制不了的东西，却不愿对可控者承担起自己的责任。

控制力幻象：我们可以控制很多东西。认清现实后，又不甘心只能控制这么一点，看不到这一点的丰富。

不同的心理咨询的流派都在帮助我们重新建立控制感。

生活是一个修行的道场。

2、乐观的人反而会更焦虑？寻求控制感

我们有烦恼，是因为我们总妄想去控制那些我们控制不了的东西，却不愿对我们能够控制的东西担负起责任。

控制是人的基本需要。从婴儿时期，人就想控制这个世界了。

控制感是安全感的来源。从某种程度上说，人的心智成熟，就是从认为很多事我能控制到发现很多事我不能控制。

精神分析-全能自恋：婴儿觉得自己是无所不能的。喂奶；哭，安抚。逐渐发现，这世界不是围绕着我转的。

夸大我们控制世界的能力。控制别人的评价；如果我当时做对了，某事就如何如何。

天生的乐观派：我做得好，应当得到好评；每个人都应当有美满的原生家庭；愧疚于拖延，则认为本能够长时间保持投入与专注。真相是，这个世界本来就是不完美的。

当现实与想象不符时，我们就会焦虑、沮丧或愤怒。从乐观到悲观。从而不愿去控制那些我们能控制的东西，因为它看起来太微不足道。

逃避责任：比如请出拖延症这个”对象“，你看，因为拖延症我才这样的。事实上，可控者远比我们想象地多，把握和享受这些使我们安全感的来源。它需要换一个看待问题的角度。

当我们说，道理我都懂的时候，就是还没懂的时候。将其置于一个遥远的与己无关的位置，而不愿去践行这个道理。但这是我们可以控制的。

问自己两个问题：

这是我能控制的吗？如果不是，那我能控制什么？

行为模式四个层次：生理、感受、思维和行动。生理反应和情绪感受很难直接控制。思维方式和行动较易进行。

焦虑时很难直接停下，但可以有行动：公园散步，见朋友。如此以思维和行动反过来影响了生理与感受。

上帝，请赐予我勇气，让我改变能够改变的事情；请赐予我胸怀，让我接受不能改变的事情；请赐予我智慧，让我分辨这两者。

尽人事，听天命。

以为可控者之背后，有我们不可控的东西，承认之让人痛苦，但也让我们解脱；以为不可控者之背后，也有我们可控者。这种智慧是帮我们走出焦虑的良方。这种智慧是什么？

3、如何拒绝别人不合理的请求？课题分离法

关系是影响个体幸福感的最重要因素。

个体心理学家阿德勒：人际关系的烦恼是一切烦恼的根源。人际关系中，什么是可控的，什么是不可控的？

老好人：担心别人恶评；担心他人找不到其它帮忙者。事实上，他人评价不可控，不可剥夺，而且自己行事准则亦不能因他人而定。另一方面，夸大了自己的作用。最极端者，你也不能拯救一个人。

拒绝为何很难？混淆了可控与不可控两者。控制他人之评价；施加自己之影响。（看起来，不是他人需要自己，倒像是自己需要帮助别人，你知道，这会很感人）

各人皆有界，只须做力所能及欲及之事。如果多次欲拒绝而不得，盖其为超出自己界限之信号。

阿德勒：课题分离。区分什么是你的事情，什么是我的事情。我负责把我的事情做好，你也需要如此。

这是谁的事情？判断标准是，谁为结果负责。例：母催女结婚。则女儿反感，又担心不结婚导致母亲不高兴。分离之，则女儿只婚事有其自己承担，母亲不能插手；母亲之高兴由其自己负责，与女儿是否结婚无关，女儿亦无需负责。

拒绝困难：把别人的问题当成了自己的问题。

另一问题，是否显得冷漠？如父亲对儿子之关心。则问题是，如果

爱是，你可以对一个人好或不好时，选择了好，心甘情愿的。课题分离的目的不是分离，而是从人际关系的困扰中解脱出来，回归我们的本心。所谓本心，即自愿地做事。去助人，不是担心评价，或希望感激，而是同情与爱耳。

担心被拒绝：不仅是此行为，亦有背后关系之含义。他是否认为不重要，不在意我？表达需求很难，也是因为背后被评价的恐惧。我们不能控制别人满足自己要求，但我们能控制自己表达需要之需要。

彼得·德鲁克：不为任何人做事，为上帝做事。

4、亲密关系中为什么总想控制对方？排序思维

亲密关系中，何者不可控，何者可控？

亲密关系的基本动力有两种：权力和爱，相对于思维模式：排序思维和联结思维。

排序思维：把人排出高低贵贱。

控制的企图会极大地伤害两人的关系。愈亲密，愈期待，愈想控制。控制引发斗争，使身处关系中的人痛苦不堪。吃饭、看电影之类的小事儿，所争论者，谁听谁的。这次听了他的，是不是他不尊重我？我是否输了？输赢即典型的排序思维。此种思维者，担心关系中的不平等，害怕被拒绝。控制代替了亲密，权力代替了爱。我们以为，控制了别人，爱就会回来。我们可以要求别人做很多事情，却不能控制别人爱。

都是对方的错。尝试改变对方。自己可以做什么改善关系？争论对错，也是排序思维。控制别人，就是控制不可控之事。对方先改，仍然在争高下。放到自己身上，这是自己唯一能控制的事。

放弃控制，才能给对方自主的选择，才能给爱留下空间。

退一步，放弃对对方的控制。把自己的需要和对方的需要分开。

5、自己制定的计划，为什么总是拖延？张力和控制感

想好好利用时间，制定了很多目标。锻炼身体；学英语；读不同领域的书。刷手机、打游戏。何如？

为什么定很多目标？不能定少数几个？

这几个都很重要？看到焦灼的目光，急切地想要改变什么。此时就想要制定各种目标和计划，但这样的计划不是用来实现的，而是用来缓解焦虑的，它通过幻想提供一种虚假的希望。这样的计划愈是宏大，就愈有“功效”，万一实现了呢？成功学的秘密大概也在于此，他们先是提供焦虑，再献上良方。

那么，这些焦虑的来源是什么？它们是否是恰当的？（焦虑也有恰当一说？）幻想本身无可厚非，但幻想却能减弱行动的力量。制定了很多计划，买了很多书，行动力可能会降下来，因为焦虑已经通过上述行为释放掉了（我毕竟已经做了很多努力了），且有了我已经进步了的错觉。

目标

目标与计划本质不同。目标的本质是张力，如同一张弓。此张力是一种心理上的未完成状态，而且达到目标之前，不会随着行动而消失。

格式塔疗法：未完成事件一直在我们的世界里隐隐作痛，希望去完成它。坏的目标，张力不可持续，做一点，张力少一点。

例：写一本对自己很有意义的书，假设有10章，那么写完第9章，也不会失去动力。如果是坚持写作，那么完成一点，目标的动力就消失一点。

制定一个创造型的目标，如写一本书、完成一幅画、作一首曲子，会比坚持型的目标，如坚持读书、健身更容易。因为创造型的目标，我们心里有一个未完成状态，会保持张力。所以，尝试去制定一个创造型的目标。

那么，好的目标是否一定能够完成？不一定，因为是否完成取决于很多因素，如所处时代（互联网的兴起对传统行业的冲击）、运气等等。故有时且需要根据形势调整目标。如果目标是否实现不是我能控制的，那我还能做什么？这就是目标之外的计划。

计划

目标的本质是制造张力，计划的本质是控制。做事时的不可控和不确定的感觉很折磨人，它容易使人焦虑和拖延。这时需要计划。仔细想想，每个不可控的事情背后，也有其可控的部分。即使努力准备考试，也不确定是否能通过，但去努力却能提高通过的几率。不知道何时有研究灵感，但多读文献，多讨论就更可能产生灵感。

所以，找出可控的部分，做成计划，这就是我们该做的事儿。计划的本质是控制，不是提供虚幻的希望，把注意力放在能做的事情上，让你谦虚、节制、理性。

如果一个计划让你好高骛远，当下却不知道该做什么，只想着做不到的事情，那就不是一个好的计划。好的计划让你沉下心来，脚踏实地。结果不是我们能控制的，却可以说，我已经尽力了。

6、为什么你的人生规划会给你这么大的压力？创造福流

多隆——阿里的神人

“就是解决问题嘛”。

状态：不去想我不能控制的事情，只关注我能控制的事情。

基本信条：远大的理想，不能泯与众人。

如果做不好眼前的事情，远大的理想就会成为沉重的负担。

高远的理想下，生活成为一架运行的机器。

只有大纲，没有内容——很乏味。

不希望过程，只希望结果——快快来到。但结果很难控制，恰恰过程才是能控制的，放弃了过程，也就放弃了结果。

没有人能保证生活会如何如何。所以，去做自己能做的事情吧。将自己交付给命运。不是说，只要我努力，上天就一定会给我回报，而是，即使上天不给我回报，我也要去努力投入。

投入不能保证成功，却能带来幸福。漂移不定，比专注投入时更不幸福。Flow，忘我，忘时，沉浸于某事——幸福感的真正来源。条件：需要放下事情以外的目标的执念，做好能做的事情，忘我。忘我——到达自我。不要以成功为目标，成功是自己全心投入，置之度外时意外获得的副产品。

投入眼前的事情，把它当做人生规划的手段。

更大的世界：福流可能是向内求得的。

7、目的论和因果论

找出能够控制的事情，不仅需要常识，还需要换一个角度来看待行为。

焦虑可以“有用”：实现了某种目的。不想面对找工作的挑战，“选择”了焦虑，焦虑给了他一个好的理由为自己开脱，在这种意义上是“有用”的。

虽然有用，缓解了心中的痛苦，但我们也交出了手中的控制权，因为现在找不找工作是由焦虑来控制的了。如果我们说自己“选择”了焦虑，那么是说自己“不想找工作”，焦虑是主动选择的结果，是否出门找工作是由自己来决定的。如此一来，就夺回了控制权，代价是我们得为自己负责了。

因果论：所有发生的事情都有背后的事情，如原生家庭。因果论往往导向过去决定论，而过去是我们没法控制的。

阿德勒的说法目的论：强调行为背后的目的。为了种种目的，我们才有了特定的行为。回避挑战->制造焦虑。心理问题不是问题->而是为了满足某个目的而想出来的一种解决方案。

抑郁通过缩小活动空间保护自己；焦虑通过情绪唤醒提醒你有危险接近；自卑通过一系列的退缩行为避免在激烈的竞争中受伤，自卑的痛苦主要来自己不如人，避免了竞争，就避免了不如人情境的发生，同时亦可获得关注与安慰。

初级和次级收益：社会认可的直接收益；情感上的。

阿德勒论故意捣蛋的儿童：获得称赞的需要（人群中的优越感，优越感带来安全感？）；若无称赞，则要表现得与众不同，包括做坏事，以引起关注；若否，开始权力斗争阶段，开始不服任何人；复仇，故意捣乱和破坏；证明自己的无能，回避自己人生发展的课题；作为受害人，谴责他人。

自省：问题行为获得了哪些好处，这些好处反映了自己内心的哪些需求？如果没有这些问题行为，我们还能用哪些方式来满足这些需求？也许这些行为背后也有自己能控制的东西。

8、怎样跟自己的焦虑感对话？

情绪低落，不想出去活动；生活毫无意义。

抑郁症：标签；确认了，至少有什么是确定了。贴到身上，当作自己的一部分，没法把问题与自我分离。

欲重获控制感，换个角度。

心理咨询技术，来自叙事疗法。

黄金棍的故事：控制不住自己->是自己的问题；棍->问题是外部的。

外化，分离自己与问题，增加我们的主动性与控制感。找到一个动物、植物或物品，形容问题，找到合适的比喻，这样同时也界定了自己与问题的关系。不要使用斗争关系，易使人紧张，选择轻松温情的。如“黑狗”、“小孩”。

具象：它如何影响我的生活，如何相处，如何找回控制权。

焦虑：小孩；理智：成年人。你听谁的话呢？听听你的问题，它在跟你说什么，你该怎么做呢？

大部分心理咨询的本质就是找回控制感。外化是方法之一。

9、为什么说犯错反而能缓解焦虑？悖论法

放弃不可控者：顺其自然；为可控者担责：专注精进。

陷入焦虑和恐惧时，很难什么也不做。

标签收集器：什么症状总能找到适合自己者。

有时候，很想控制和改变自己的状态，但这种控制和改变本身也会成为问题。欲睡而不能；欲摆脱焦虑而更为焦虑。但放弃改变之心很难，身处问题，急于改变。

接纳自己：平静之情绪。接纳本身也会成为悖论：要不要接纳那个不接纳自己的自己呢？接纳自己的本质是舍弃，不是追求和获得。舍弃不可控者；舍弃“完美的自己”；舍弃“完美世界的执念”；接纳自己，不是因为它有什么好处，而是缺陷、不完美就是我们生存的事实，如果希望内心平静满足，通常不能成功。

内心平静满足不是目标，而是接纳自己的副产品。

放弃无效的控制，去接近内心的焦虑，是一个巨大的冒险。故悖论中人难以走出悖论。

但悖论也是悖论，不仅是问题，亦可成为方案。治疗自己。

正是恐惧导致了我们害怕的事物出现；过度渴望使我们希望的事情变得不可能。矛盾意向法：越是害怕，就越是在意向中让它发生。比如害怕演讲。制造特别的情境。无论做什么，都能获得控制感，重点是要去做。

犯错说明你在工作，而且可资学习。犯错计划：每周3次。不去过于担心无需担心之事。

10、带着症状去生活：森田疗法

森田疗法：带着症状生活，为所当为。

手抖：承载着自己的不安和自我怀疑，有其历史，现在表现为手抖。以为心理问题是能够控制的，出现时本能地希望治愈修正它。生活倒映在水里的影子。

身体生病：能够定位；心理问题不能：不是控制心理问题能解决的；无法通过影子来修正原来的问题。

停下生活去治疗它，但治疗的力量却来自于生活本身。

不是艰难的情况下去控制焦虑，而是在偶尔焦虑的情况下去过艰难的生活，让它运转良好。疾病之外的部分是唯一能控制的事情，这就是为所当为。

一方面夸大之；一方面轻视之。

弃疗，去生活。问题以外的生活。生活滚滚向前，以为很重要的事情，变得不那么重要了。

荣格：人生中所有最严重、最重要的事情，基本上都是无解的。问题无法被解决，只会被更大的问题掩盖掉。视野变得更大更宽了，问题也失去了它的紧迫性。

11、为什么说要专注于当下？正念思维

妄图控制不可控，却不对可控者行使控制权。这里隐含着两种思维模式：

• 远的思维：没有发生之事、抽象的和远的事情；
• 近的思维：真实的、正在发生的、近的事情

远之三特征：

• 过度概括化：不舒服，可理解；但说我总是不受欢迎，就走得太远了；这一切有什么用呢？（一切、总是、根本）。此时，无事可控制。

你问的问题是否太过抽象？我有拖延症怎么办？我总是很紧张怎么办？此类提问反映了其思维模式。

-> 遇到哪些人/哪些场合紧张？什么时候不紧张？用近的语言，亦即近的思维模式去思考真实的问题。说因为内向故而紧张，过于概括，过远，远离了真实问题。

• 想象代替看见，脑补代替现实：以为了解了现实，实际上没有。不要去看没有发生的事情。

• 以有用、无用的判断和评价代替行动：根据可能的结果来判断是否去做，但很多时候做了才知道是否有用。结果不可控，但做不做可以。

我们现在能做什么？你愿不愿意去做？不愿做是现在，为何不愿在远方。

远的思维：让我们远离真实的生活，失去对生活的控制感。

正念：原为佛教术语，现在心理学界亦流行。关注此时此刻，关注当下。是一种近的思维方式。只有近的东西是你能控制和把握的，也只有近的东西才是你存在的现实。

12、怎样跟自己的过去告别？心理重生

如何面对生活的变动，面对生活中的结束和开始。

上一次重要的生活转变发生在什么时候？

转变：社会意义上，有积极者，也有消极者。所有转变都伴有压力，因内心需要调整。回顾起来，顺理成章，这是记忆之作品耳。手足无措，焦虑。转变的过程，伴有大量的失控（此为很多人不愿改变之原因？）。

何者可控？何者不可控？

• 不可控：迷茫与混乱，失恋；

• 可控：知道自己会经历什么，勇敢走出，迎接新生活。

威廉·布里奇斯《转变》，转变三阶段：结束、迷茫、重生。转变自结束始。

如何开始新生活？试图直接跨过前两阶段。无法转变入下一阶段，可能是因为在结束处卡主了。

案例：失恋三年，依旧关注ex之微博，尽管早已没有自己之痕迹。曰：我难过，故感情仍在。若我好了，那感情就真地结束了。此一执念，或许对当事人仍有意义，但旁观者会发现，感情“事实上”已经结束了，不管你是否接受。（如《海边的曼彻斯特》）。你所需要的是生活在对上一段感情或ex的留恋中？还是希望幸福？那么幸福是来自于留恋还是更真实的感情呢？

停留在过去，有何好处？内心留有一些虚幻的希望，以此对抗孤独。承认结束，就承认永远失去了一个人（但你从不曾拥有一个人，对吗）。结束总是包含了失去。这种失去也包含一部分旧的自我。

这就又回到了：妄图控制不可控者。

但结束了，不会立即进入重生，还有第二个阶段：迷茫。伴随着抑郁、自我否定，空虚、无聊。为了摆脱空虚和无聊，会急着开始。

迷茫之要义：不是振作和重新开始，而是放弃抵抗，同时保持对未来的好奇，与自己相处。事情为何发生？转变意味着什么？迷茫期：等待新自我的萌芽。

第三阶段：重生。已能够把转变整合到自己的人生经历里。从自我中长出了新的东西。

13、你是不是也在摸索生命的意义？接受无常。

生命及人类之产生纯属偶然，人终将死去，甚至地球也会消失，那么人所做的一切有何意义？

一个东西，无论是花还是人，它的存在本身都是有其意义的，不需要用有用来证明，也不需要用时间上的延续来证明。把任何东西当成达到目的的一种手段，都是对它本身的贬低。

可控/不可控视角，也许能减轻焦虑，或达到幸福，但并不是因为这个而采用，而是因为它本身就是对的。

随缘：你遇到什么，就享受什么，但不要留恋。

佛祖说：”阿难陀，你看，这灵鹫山多美！“

纵使落日稍纵即逝，也无法消减它那刻的美。

道理，终究是远的，切记。

来自美剧非典型孤独（Atypical）

Nobody’s normal

在剧中山姆被诊断为患有自闭症，还提到他是一个高功能自闭症，以及自闭症不能完全治愈。如果你看过《生活大爆炸》，也许会想到谢耳朵，其饰演者吉姆·帕森斯认为谢耳朵的表现很接近于阿斯伯格综合征。同时IMDB的剧集简介中提到了自闭症光谱。我想，有必要先了解一下这几个术语，下面相关术语的信息摘自维基。

自闭症

自闭症（Autism）为一种脑部因发育障碍所导致的疾病，其特征是情绪表达困难、社交互动障碍、语言和非语言的沟通有问题，以及日常上常见的，表现出限制的行为与重复的动作，明显的特定兴趣。不能进行正常的语言表达和社交活动，常做一些刻板和守旧性的动作和行为。自闭症的病因仍然未知，很多研究人员怀疑自闭症是由基因控制，再由环境因素触发。

部分自闭症患者可经过诊疗、实习及特殊教育，可改善他们的社交能力，而可参与主流教育及社交活动。但以现时医疗科技水平来说，并不可能完整根治自闭症，仅是提升自闭儿的功能。

高功能自闭症

高功能自闭症（High-functioning autism，简称HFA），指智商中等或更高的自闭症患者，且多数具有语言能力，学习能力较佳、自闭倾向较不明显；但语言理解与表达力、人际互动与聊天的能力仍有困难的自闭症患者。

阿斯伯格综合征

阿斯伯格综合征（Asperger syndrome，简称AS），属一种发展障碍，其重要特征是社交与非言语交际的困难，同时伴随着兴趣狭隘及重复特定行为，但相较于其他泛自闭症障碍，仍相对保有语言及认知发展。亚斯伯格症患者的智力正常，其中有许多人智商偏高具有天赋，只有极少数的人属于高智商，经常出现肢体笨拙和语言表达方式异常等状况，偶尔会发出怪声音，但并不作为诊断依据。其症状一般在两岁前出现，并伴随患者终生，目前没有有效治疗方法，预后差。

自闭症光谱

自闭症光谱（Autism spectrum）是一种心理状况的谱系障碍，亦称自闭症谱系障碍或泛自闭症障碍，描述了一个被DSM-5（精神障碍诊断与统计手册（第5版））归类为神经发展综合征的症状群的范围。 被诊断为自闭症（autism spectrum disorder (ASD)）的人必须存在下列两个症状。

• 缺乏社交沟通与社交互动。（或社交及沟通上的广泛性异常）
• 局限的、重复的行为、兴趣或活动。（或异常局限性的兴趣、高度重复性的行为）

自闭症光谱有三个主要项目：自闭症、亚斯伯格综合征、待分类的广泛性发展障碍。自闭症在光谱核心位置，而阿斯伯格综合征在手册（第5版）中被移除。

重积分综述

单变量积分基于黎曼和，黎曼和涉及一个分割，以及小分割宽度与某个函数乘积之和。单变量情形下，分割当然是在一个区间上。

二重积分

在多变量情形下，比如二元函数，我们先考虑最简单的例子。在$xy$平面上，函数$f(x, y)$定义在一个矩形域：

$$R: a \leq b, c \leq d$$

设想，$R$被分别平行于$x$轴和$y$轴的直线网格覆盖，这些网格将定义域分割为若干小块，小块面积记为$\Delta A = \Delta x \Delta y$，在每个小块面积上选点$(x, y)$，作和：

$$S_n = \sum_{k=1}^{n}f(x_k, y_k)\Delta A_k$$

可以看到该和与黎曼和的定义如出一辙。当网格的长与宽皆趋于零时，该和趋近于一极限值，该极限称为$f$在$R$上的二重积分，记为

$$\iint f(x, y)dA，或 \iint_R f(x, y) dxdy$$

二重积分的性质

除了一般的数乘、和差、优势关系，二重积分还满足区域可加性，对于两个非交叠矩形域，总的积分等于两个区域上的积分之和。

二重积分与体积

就像定积分自然地对应于曲边梯形的面积，二重积分对应于棱柱体的体积。

计算二重积分的富比尼定理

富比尼（Guido Fubini）于1907年发表的一个定理证明了矩形域上任一个连续函数的二重积分都可用累次积分的任一种次序计算。

有界非矩形域上的二重积分

此时可应用较强形式的富比尼定理，详见12.1的定理2。

三重积分

简言之，亦有类似的富比尼定理。

TODO

本章内容，暂时从略，需要时再补。

安装

1
2

# On Mac
$ curl https://sh.rustup.rs -sSf | sh

运行此命令，按其中的提示安装即可。

升级与卸载

1
2
3

$ rustup update

$ rustup self uninstall

确认

1

$ rustc --version

本地文档

1
2

# 使用此命令在浏览器中打开本地文档，其中包含 The Rust Programming Language.
$rustup doc

Hello, World!

假设把代码放在某个目录下，cd到它，创建一个main.rs文件（rs是Rust文件的扩展名）：

1
2
3

fn main() {
    println!("Hello, world!");
}

然后，编译再运行之：

1
2

$ rustc main.rs
$ ./main

Rust程序的结构

fn定义一个函数，而main同时是特别的入口函数，与C和C#之类语言类似。Rust中的函数需要花括号包含其函数体。

第二行println!("Hello, world!");，输出一行文本到屏幕。这里看起来有点特别的是println!，带有!在Rust中意味着调用宏而非函数。行末的;表示一个表达式的结束，大多数Rust代码行以;结束。

编译和执行的分离

作为静态语言，Rust程序执行之前需要先行编译，这类似于gcc或clang。

对于简单的程序，可如上使用rustc，对于更为复杂的程序，你可能需要Cargo这个工具。

Cargo

Cargo是Rust的构建系统（Build System）和包管理器（Package Manager）。它可以生成代码、下载依赖库，生成库代码。

Cargo随Rust一起安装。

以Cargo创建一个项目

使用命令

1

$ cargo new hello_cargo --bin

创建一个项目，--bin表示所创建者为可执行文件（binaries）。Cargo生成了两个文件：

• Cargo.toml（TOML格式的配置文件）
• src/main.rs（与上面手工创建的一样）

Cargo.toml内容如下：

1
2
3
4
5
6

[package]
name = "hello_cargo"
version = "0.1.0"
authors = ["andersc <andersc@mail.com>"]

[dependencies]

[dependencies]列出了依赖的库，这些依赖在Rust中称为crate。Cargo创建了初始的目录结构，也是建议将代码放在src下，其它文件放在顶级目录。

Building and Running a Cargo Project

使用如下命令编译并运行程序：

1
2

$ cargo build
$ ./target/debug/hello_cargo

首次执行cargo build时，它会创建文件Cargo.lock，用于跟踪应用的依赖。一般不需要手工改动之。作为一种更快捷的方式，可以用cargo run来编译并运行程序。

发布程序

上面可见，编译的程序放在了debug下，如果要正式发布，则应使用cargo build --release选项，这会优化所生成的程序，代价是编译时间更长。

开发环境

• Sublime 3：Sublime Rust
• IntelliJ Rust

Guessing Game

通过一个真实的程序来演示几个Rust的常见概念，如let， match，方法，关联函数，使用外部库等。

猜数游戏是一个经典的编程初学者的问题。

建立项目

1
2

$ cargo new guessing_game --bin
$ cd guessing_game

感受一下

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

use std::io;

fn main() {
    println!("Guess the number!");
    println!("Please input your guess.");

    let mut guess = String::new();
    io::stdin().read_line(&mut guess)
               .expect("Failed to read line");

    println!("You guessed: {}", guess);
}

这里面，use不用多说；let创建一个变量，不过在Rust中变量默认是不可修改的，如果希望修改，则需要使用mut；String:new()就是所谓关联函数（associated function），相当于其它语言中的静态方法。

stdin是io的关联函数；read_line函数读取用户输入，将值赋给一个变量，&表示参数为引用（reference）。

原书信息

陈海贤（动机在杭州），浙江大学心理学博士，中国临床心理学会注册心理师。曾在浙江大学心理中心任职，期间开设《积极心理学》的通识课，广受欢迎，被誉为浙江大学版的“幸福课”。

你大概也正处于某种“匮乏”当中，也因此，你的内心会有种种不安。这些不安一方面推动你去想象未来、远方、更好的自己，让你急着想要成长和改变；另一方面，也容易让你对自己、对世界采取一种防御的姿态，让你在自我怀疑中裹足不前。所以，你经常觉得自己敏感内向；你有关于未来生活的远大设想，却总会责怪自己没有足够的意志力去执行它；你一边焦虑自己变平庸，一边害怕竞争的激烈；你会为如何与他人相处头疼，会纠结于他人的负面评价；有时候你会害怕孤独，有时候又宁可回归孤独；偶尔，你还会感到空虚沮丧，并经常怀疑人生的意义……

如果是这样，那这本书就是为你写的。

如果你也感到焦虑，因焦虑而焦虑；总感觉时间不够用，但内心却深知，自己并没有利用好时间；不允许自己闲下来；

自序

> 追求幸福如登山，登顶只是瞬间的事，而攀爬的过程却艰辛而漫长。

你也许爬过一座山，却未必爬过他人在爬的山，或者未走过他在走的那条路，仅能给出一点建议而已。

幸福之路，坑多路少。原因之一是，我们生活在一个不完美、充满缺陷的世界中。幸福需要我们承认这种不完美，扎根于这种不完美，并从中感受真实的生机。而太多的人生问题，是因为我们想要逃离这种不完美。

如果你总致力于怎么把生活打扫得一尘不染，你就不会知道在泥浆里跳舞的快乐。

如果我们能接受世界本来的不完美，许多问题就不是问题了。（当我们憧憬未来、努力上进，似乎都在暗示着：现在的自己不够好。）

现实有各种限制，先天的、后天的，自我的、他人的。想象的幸福是什么样的呢？或许也能想到某些限制，但总是不够多。要走出想象，努力去生活，进入生活本身。这样才能更了解自己的能力和限制，唯有如此，才能有更合理的想象。真正了解生活的限制，才能有自由，就像一只鱼儿不会因为不能飞翔而感到悲伤。

你大概也正处于某种“匮乏”当中，也因此，你的内心会有种种不安。这些不安一方面推动你去想象未来、远方、更好的自己，让你急着想要成长和改变；另一方面，也容易让你对自己、对世界采取一种防御的姿态，让你在自我怀疑中裹足不前。所以，你经常觉得自己敏感内向；你有关于未来生活的远大设想，却总会责怪自己没有足够的意志力去执行它；你一边焦虑自己变平庸，一边害怕竞争的激烈；你会为如何与他人相处头疼，会纠结于他人的负面评价；有时候你会害怕孤独，有时候又宁可回归孤独；偶尔，你还会感到空虚沮丧，并经常怀疑人生的意义……

匮乏，将限制我们的目光，使其短视和失焦。

如意与不如意者，要么减小后者，要么扩大后者。

但只有在行驶中，你才知道该怎么调整、转向、把握平衡。

如果说本书中让我们焦虑的“远方”是完美又脆弱的虚假自尊，抽象又缥缈的高远目标，对成为一个很厉害的人的期待，快速免于匮乏的想象，高效专注、心无旁骛的状态，左右逢源、八面玲珑的人格，与父母和朋友的完美关系……那“脚下”则是把失败当作反馈的成长思维、认真对待琐事的无差别心、不功利的兴趣和努力、匮乏和不安中的淡定从容、内疚与自责中的自我和解、对性格优势和缺陷的了解和接纳、在不完美关系中的自我滋养……

这些“远方”都很好，唯一的问题是，它既不像这个真实的世界，也不像我们真正的自己。它是我们应对匮乏和不安的想象，并不是真实的幸福。而“脚下”呢，说不上好，也说不上坏，但我们踩下的每一步都很踏实。

假想的自我与真实的成长

我非理想中的我，我非将来的我，我亦非过去的我。

名校学生病

考败来浙；严格的父母；严苛的高中，唯成绩论；身边总有更好的人（成绩好，专业有趣，有前途）；

PS：成绩天然带有对比。

但如果真让他无所事事一会儿，哪怕几分钟，他就会被“变平庸”的恐惧和焦虑折磨。

此时的“努力”已经走样。少有成功的喜悦，却多失败的恐惧。

假想中的完美自我

感到安全时，人天生就有探索世界、接受挑战的冲动，这是我们做事的内在动机。但是，这种内在动机很容易被破坏。

比如评价性语言，褒贬、施压、攀比。无论褒贬，评价容易带来不安，陷入防御心态和过度的自我关注。

当儿童担心自己不被父母或他人认可时，他们会产生强烈的焦虑和不安。于是，他们会在幻想中创造出一个他们认为的、父母喜爱的“自我”，来缓解这种焦虑。这个假想的自我通常都是完美的——聪明、美丽、优秀，毫无瑕疵。当他们用幻想的自我来对照现实的自我时，他们会觉得自己像个冒牌货。他们努力维持幻想中的形象，害怕别人看到幻想背后真实的自己。

即使别人真诚地以为他们已经做得很好。

在心理结构中，自我像是一个调节器或维修包。当一切运转良好时，我们会把生命能量投射到与外部世界的互动中。世界向我们提问，我们努力解答。自我也在与世界的互动中逐渐变得丰富起来。但是如果我们感到不安，就会把注意力投射到自我本身，就像打开维修包里的探测器，去探索和发现自己的问题。

当我们把注意力放到自我修正时，自我的发展却因为缺乏与真实世界的互动而逐渐停滞了。越停滞，我们越想修正自我，越容易变得以自我为中心，这形成了恶性循环。

不安全感也可能是一种动力，但它和自发的、通过挑战获得成就感的动力并不相同。很多心理学家以不同的术语区分了这两种动力：追求成功的动机和避免失败的动机（阿特金森），指向成长的动机和满足匮乏的动机（马斯洛）……而斯坦福大学心理学教授德韦克认为，这两种动力背后，是两种不同的心智模式：成长型思维和僵固型思维。

成长型思维和僵固型思维

两种心智模式，对于拖延症有着重要的影响。它们的区别在于注重成长的可能性，还是当前的评价，前者开放，后者封闭。

它们决定了一个人如何看待挑战、失败、努力（努力证明自己的无能？）、批评。如何看待他人的成功？

仔细思索，你会发现成长型思维的底层是安全感。这种安全感不是因为“我是一个什么样的人”，而是因为“我有很多可能性”。拥有这种安全感的人，不需要保护某种特定的自我观念，也不需要过度的自我关注。他们突破了自我中心的束缚，转而从成长和发展的角度看问题。在这种视角下，“自我”并不是一种固定的状态，而是一个不断创造和形成自身的过程。

做到原以为做不到的事情；回想三年前的自己，是否有很大进步？

不太关注结果，专心做事，结果反而更好；

成长究竟是怎么发生的？从微观层面看，人的大脑由各种各样的神经元组成，这些神经元的连接方式构成了我们储存和加工信息的能力。未知的挑战一方面让我们焦虑，另一方面也在不断训练我们的大脑。挑战越多，大脑就会变得越复杂，相应地，人的能力也在不断增长。

从宏观层面看，人的能力是通过与环境的互动成长起来的。我们与环境的互动越多，获得的反馈机会就越多，我们的能力成长就越快。

这种成长和进步的路径需要我们重新思考失败和错误的价值。曾有一个来访者问我：“总是为说错话、做错事懊恼不已，担心自己还会犯错误，影响工作和生活，该怎么办？”

对他来说，错误意味着失败和对自己的否定。他很少从反馈的角度理解错误。

从而最直接的表现就是畏手畏脚。

成长中的关系

布尼尔祈祷文中几句经典的祈祷词，是这样的：

上帝啊，请赐予我胸怀，让我接受无法改变的事；请赐予我勇气，让我改变能够改变的事；请赐予我智慧，让我能够分辨这两者。”

多么言简意赅、简单实用又发人深省！简直道尽了所有鸡汤的精髓。

常见者：一眼就觉得不合适，分手。但实际上关系也可以成长。

若你相信能在一期，可能就在一起了，若不相信那也就不可能在一起了。相信才会去为之做些什么。

你相信你们俩的关系是一成不变的还是不断成长的？以及，你对自己的信念有多坚定？

“相信”这事，说来缥缈，却力量巨大。你相信什么，往往决定了你怎么看待你们之间的关系，以及采取什么样的行动来处理你们的关系。而看法和行动，又会进一步影响你们的关系。

一见钟情/性格不合/三观不一致/没感觉 vs. 开放的好奇心

秉持成长型思维的人，更容易相信关系是不断成长的，也因此更愿意投入精力来经营和改善这段关系。

相处中亦有正反馈。

像一棵树一样成长

曾有学生问我这样的问题：“假如兔子都在拼命奔跑，作为乌龟的你，前进的动力在哪里？”

根据心理学家海德特的说法，人格的核心，其实是一个故事。

这个故事凝缩了我们对整个人生的理解，成了我们独特的人生线索。这个故事有一个目标，通常就是成功或幸福；有很多围绕目标展开的情节，就是你的每段人生经历。而我们的意义感，也通常源于对这个人生故事的理解。可以说，我们的人生就在完成这样一个独特的故事。只是，故事开始的时候，我们也不知道这个故事是怎样的。我们一边当观众，一边当编剧；一边经历，一边修改故事大纲。

当我们接受一个故事作为我们人生范本的时候，我们也接受了这个故事背后所隐含的假设。这些假设像是故事的潜台词，它被视为理所当然，很少有人认出它，去质疑它。

当我们用龟兔赛跑来比喻我们的人生时，它同样隐含了我们对人生的一些信念：

• 人生是一场赛跑：必须要和别人比赛吗？
• 终点处只有一个胜利者：一定要分出胜负吗？只能有一个胜者吗？
• 跑得快还是慢，是一种固定的能力。如果你跑得慢，你就一直跑得慢。
• 奔跑很辛苦。但既然你已经跑得很慢了，就只有拼命奔跑，才能获得成功。

这些隐含的信念所体现的，正是僵固型思维的特征：用一个假设的、“必然会存在”的、比我们强的人作为比较标准，来消减我们成长和进步的意义。

它们来自：焦虑的父母、功利的学校、浮躁而现实的社会文化共同的产物？

同时，也会有人假设自我是一个已经存在并相对固定的东西。它通常由我们的童年经历决定，而我们以后的经历，只是对已经形成的自我的修修补补。

那么，还可以选择什么样的故事呢？一条河流或一颗树。

源头固然很重要，但它最终的形态如何，取决于它在流向大海的途中会遇到哪些山坡、丘陵、沙漠……它怎么面对障碍，以及选择在什么地方拐弯。真实的自己并不是一开始就存在，它是我们在跟环境的互动中，在应对困难、做出选择的过程中，逐渐塑造出来的。

假如自我是一条流动的、尚未成形的河流，那么“发现自我”，或者“证明自我”也就没有意义。因为就算我们能通过某件事证明自己，我们所能证明的，也仅仅是某个阶段、某种状态下的自己。就像这条河流会有一段湍急、有一段平缓，你却没法通过单一的某段河流来评判它。

源头能决定你是黄河还是长江，我们却不能简单地说长江是什么河，它有湍急的三峡，也有开阔平稳的河段，还接纳了不知多少条支流。

这是我见过的关于成长型自我最好的隐喻。

如果从树的角度，重新回答开头那个同学的问题，我大概会说，人和人之间的关系，并不只有比较和竞争。我们做事的动力，也不只是想比别人优越。我们每个人都努力生长，既相互竞争，又彼此扶持，形成了一个完整的生态系统。我们是亲人、朋友、同学、同事、公民……也许我们有高有低，但我们在共同生长的土地下面根须相连。如果你问一棵树为什么还要生长，既然总有其他树比它长得高。它大概会回答：“傻孩子，因为我是一棵树啊。”

如何面对现实中的评价体系？不要简单地认为，一件事情非得如此如此不可，很多时候还是有选择的。一定要赚很多钱吗？一定要买大房子吗？孩子一定要去最好的学区吗？

更大的世界与眼前的生活

较之于当下在我们之内的，我们身后的过去和眼前的未来，都是琐事。
– 奥利弗·温德尔·霍姆斯

很多人都生活在平静的绝望中。
– 梭罗

从眼前的琐事到更远的地方。

世界那么大，我想去看看，然后呢？

英雄就是要反抗我们想反抗又不敢反抗的势力，做我们想做又不敢做的事情。我们从英雄故事中吸收力量，寻找榜样。对于每一个深陷琐碎的日常、只能在夜深人静的时候透过窗户遥想外面世界的人，这封文艺的辞职信足够提供想象的素材，成为我们编织英雄梦想的线索。

人能忍受辛苦，但很难忍受停滞的感觉。他们在努力探索生活的可能性。

你觉得外面有更大的世界，但你的世界可能是另一些人更大的世界。即对绝大多数人来说，总有“更大的世界”，更大的世界在远方。

看来对大部分人来说，“更大的世界”都不在此时此地，而在“远方”。它意味着变化、希望、丰富的体验和更多的可能性。

变化、希望、可能性都在未来。我们可以去想象，但一定要清醒地认识到，只是想象，永不能到达远方，而且远方亦有其远方。

世间的一切，唯有内心感受到的才是真实的。若只是走马观花，你自己都不愿相信“去过”那个地方。故更大的空间不是最重要的，要内心有更丰富的体验。

行万里路，为的是回归内心。而回归内心，则不惟行万里路一途。

“远方”是一个充满诱惑的神奇的词。卡尔维诺说，对远方的思念、空虚感、期待，可以延绵不绝，比生命更长久。这种思念究其本质，就是对生命可能性的向往。当人们陷于生活的琐碎无聊、疲惫厌倦时，“远方”就会在幻想中被制造出来。它所代表的可能性，既能容纳过去的失败、挫折和悔恨，又能容纳未来的希望。

当前所经历的生活，不是可能性，而是“确然性”。因对其不满意，故而期望其它的可能性。

“远方”的意义到底在哪里？人们心里有疑惑，去远方寻找答案。答案并不在“远方”，而在寻找的过程本身。

以前想过，远方的意义在于，让自己抽身出来，面对自我，因为平日里面对的多是身外之事。如果能够抽身，那么都可以面对自己。此处与彼处，都可以去寻找，都可以在寻找的过程中找到某些答案。

一件事是不是琐事，并不是由这件事的性质决定的，而是由你对待它的态度决定的。

身在此处或彼处，都有“琐事”，不愿做琐事，即意味着只要结果，不要过程。这不是一种现实的态度，要记住，在去往彼处的途中，各种琐事、趣事都是其必然包含的，要想到目的地，也要想到如何到达。一个目的地如此，整个生活也是。

他们并不对无聊琐事失望，相反，心自由了，他们对什么样的生活都充满热情。他们哪里也不想去，却反而自由了。而那些想要逃离的人，却到处看到囚牢。

我们总是习惯了用“好”“坏”“重要”“不重要”来评价一件事。这件事能帮助我们升职加薪吗？能够帮助我们快速成长吗？评价并不总会带来“意义感”——有时候，意义感是我们沉浸在一件事中体会到的。但评价却经常带来“无意义感”。

而我们对生命的态度，除了沉下心来体验，还能做什么呢？

很多人总是容易把做“正事”的时间看作“我的时间”，而把做琐事的时间看作“占用了我的时间”，好像那一段时间不再属于他了。而实际上，陪伴孩子的时间和修行的时间一样，都是“我的时间”，我们有责任以认真的态度度过它。

如果一件事情“占用了你的时间”，你可不可以不去做呢？如果必须要去做，那么它不就是你时间的一部分吗？自己的时间，为什么不认真对待呢？

过程本身也是目的

《禅与摩托车维修艺术》中的一句话：“今天，佛陀或是耶稣坐在电脑和变速器的齿轮旁边修行，会像坐在山顶和莲花座上一样自在。如果情形不是如此，那无异于亵渎了佛陀——也就亵渎了你自己。”

多隆成为大神的过程中，驱动力是什么？

不是高远的目标。如果他念念不忘远大目标，未必能做到这么专注。人心里有了执念，就会有担心。一担心，就很难做到专注了。

当然可以有高远的目标，但在每个当下，却不能时时想着它。高远的目标指引了方向，当下的事情则让自己迈出一步步。不积跬步，到不了；走偏了，也到不了。

前行，省视，反馈，继续前行，如此确保，不忘方向，亦不走偏。

要有远大理想，这几乎成了我们对世界的基本信条。越是对现实不满，越是害怕泯于众人，我们越会紧紧抓住高远的目标不放。但如果高远目标没有现实的路径，就很容易把生活变得抽象而无趣。

因其高远，路径难现，且他人之路径亦他人耳，未必适合自己。想太多高远的事物，会让每一个当下的时刻“抽象而无趣”，这是真的。

远处的目标固然是想要的，但一个事实是，眼下的每一刻却是我们能经历和体验的所有。只要结果，不要过程？没有过程，何来结果？

再者，结果不可控，过程则可以。

我们总是东张西望，觉得只有有人给了我们这样的保证，才舍得全情投入。古人说，尽人事，安天命。说的是，做我们能做的事，把命运的部分交给命运。这里面有一种信任。这种信任并不是对“公平买卖”的信任，而是死心塌地地交付。不是“只要我努力投入，上天就会给我回报”，而是“即使上天不给我回报，我也会努力投入”。

问题在于，时间只有一次，你投不投入，你做这件事或那件事，它都一样流逝。对于一件事情“不感兴趣”而不投入，不投入则更不感兴趣，这似乎是必然的结果。想一想，有哪些事情是当你沉下心来认真去做，发现它比想象地更有趣？

对于要做的事情，投入它；不要担心回报如何，若无投入，结果只能是——它不值得做，但事实真地如此吗？

心理学家米哈里提出一个叫作“福流（flow）”的概念。他说，福流是人们在全情投入时所产生的一种特殊的忘我体验。在福流的状态下，人们的注意力高度集中、心中没有任何杂念，觉得一切活力畅通无阻，自己跟眼前的事密不可分、浑然一体，甚至忘记了时间。（爬山除了爬山之外，没有别的理由，它完全是一种自我沟通。）福流所描述的，大概是多隆经常会有的、沉浸于某件事的状态。米哈里把这种状态看作人类的最优体验，是幸福感真正的来源。悖论是，福流需要我们“忘我”，放下对事物以外的“目标”的执念。也正是因为“忘我”了，我们反而能够成就更深刻、更复杂的自己。

如果你曾沉浸于解数学题、登山、下棋、篮球比赛，就能感受到，”忘我“，放下事物以外的执念与杂念，这是我们可能有的最幸福的体验。解出题来、登上山顶，却只是一瞬间的事情。

不要以成功为目标——你越是对它念念不忘，就越有可能错过它。

目标不因在意而自然成功，需要投入，而且能否成功，并不确定，因此更无须过于关注，努力去做即可。要记住，成功是副产品。

能够专注于当下的事情，这就是难得的福报。

我想去远方，把人生格盘重来

力求每时每刻都有事做，好避免深层次的思考

这些年，我始终没发现自己热爱什么，只知道自己讨厌什么。我太害怕失败了，于是我什么也没做。

如果遇见一个我深爱的人，我一定全力去爱；如果有一件我热爱的事情，我一定全力以赴，你也这样想过吗？那这样的人和事为何一定会出现在你面前？

它的功能和梦很像：满足我们纠正过去生活的愿望。伤心和挫折在心里郁结越久，你的“把生活格盘重来”的念头就会停留越久，你就会忍不住想把幻想拉进现实。

这段挫折给你留下的印记太深了，以至于你无法接受这样的事实：你有过一段不太成功的大学经历。这段经历事实上已经结束了，但你在心里一直延续着它。你想要一个光明的、深V翻转的结尾，强烈到宁可不开始新的生活，也不愿意为这段经历画上一个句号。

你现在的生活，是否真地如你所想的那么糟糕？现在回想起来，刚来上海时，你算是一个”会写程序“的程序员吗？你现在自认为是一个中等的程序员，那么是否一路是自己学过来的？没错，想起名校CS的人，差距颇大，但从起点开始，很多事情确实不是那么容易控制的。如何学习？如何学习如何学习？如何面试、找工作？如何去学习不同领域的知识？如何与人交往？如何恋爱？如何寻找soulmate？这么多问题，你不是一路摸索着过来的吗？

尽管与某些人有明显差距，但是你必须也要考虑自己的经历。回到22岁，某些人已经编程超过10年了，你呢？再到18岁，你或许仍会因一次考试的不理想而耿耿于怀，但是已然发生的事情，悔恨有何益？回到17岁，你仰慕爱因斯坦、欧拉，你热爱数学，但如果没错的话，你想能在数学上达到前10000就很满足了。看到了吗？在你自认为最擅长数学时，也没有那么高的期望，现在却认为这目标低得惊人。是的，我想过学好数学，但彼时亦没有”成为伟大的数学家“这种念想。再往前推，初中在放羊，极想看书时无书可看；小学还曾经有过两个班在一个教室。

（插播一条：大学里，认识到自己也是很平庸的，放弃数学，开始学习编程。然后，在08年前后，自认为已经学得不错了，值得注意的是，这时做编程工作仅3年，对于CS几乎是没了解的，所谓”不错“完全是幻觉。）

这些，你可以说不能作为借口。但是，这些是事实，如果你承认天赋与家庭的重要性，那么碰巧这两者都是无法选择的。然后，”往者不可谏“。

当然，你回想起来，会觉得有”本可以过得更好“的可能性，但是天赋与家庭不可选择与更改的前提下，在这个起点上，你做的看起来也还不错了。我真心如此觉得，我确定你不是自己想象地那么一无是处。至于其他人做得多好，和你没有任何关系，只需做好自己的事情，做喜欢的事情。（如果所有数学家都跟欧拉、高斯、陶哲轩相比，干脆都自杀算了）

另外，是之前想到的：

• 最佳先天与最佳环境的组合毕竟也有上限，如高斯，欧拉，拉格朗日，则不如此完美者更有上限。然则作为个体，只能尽力去做，与自己相比。但上限在哪里说不清。只思考上限无意义，不能了解，亦有害于生活。不如放下执念，投入到眼前之事，踏实前行。
• 一生之上限不可了解，一个月可以，且有反馈调整。努力、反馈、自省，如此反复前行，此乃正途。

总之，不能太纠结于与他人的比较，各方面条件有差别，难有合适的参考系。与自己比较，看自己与过去三年、十年有多大进步。专注于自己的事情。明白每个人，包括自己，都是有上限的，但不必担心上限在哪里，如果此上限太低会怎样，过去的已过去，着眼于当下与未来，尽力去做就好。

你不知道具体上限在哪，你也不希望知道，不是吗？在余生里，对生活充满热情，去体验，去实现吧：）

我好像说服自己了，几欲激动落泪。

因为我们每个人都带着自己长长的过去，这些长长的过去并不会因为到了“远方”就消失。它不在环境里，而在我们的头脑里，在我们的所思所想中，在我们对挑战的应对里，在我们和环境的互动中。我们需要了解自己的想法和行为模式，需要了解它们的历史、好处和可能的问题。

思考

• 生活中的哪些时间被你当作“不是我的时间”而敷衍度过了？
• 尝试以认真投入的态度做一件琐碎的事情，比如洗碗、扫地、做饭或者照看孩子，集中注意力，全情投入，把它当作一种修行般郑重。感受事情的每个细节，观察自己在做这件事时的情绪和感受。（练习”庄严“地做事）

理想与平庸

想象的自我不是真实的，是否平庸不重要，重要的是你经历和体验到了什么。

匮乏与不安

爱的匮乏是最大的匮乏，匮乏让人短视。

接纳与改变

细水长流。

拖延与不拖延

拖延与另一个我，或真实的我。

敏感与内向

爱与孤独

空虚和意义感

存在即意义。

结束与开始

多元函数及其导数

- Multivariable Functions and Their Derivatives

在学习概率论和统计学的时候，我们会发现多元函数乃是更自然的存在，在其它学科如流体动力学和电学等领域亦是如此。本章就是介绍多元函数的，值得庆幸的是，在多元函数的情形，微积分的法则本质上保持原样。我们需要了解同一时间里各个方向上的变化，但我们要做的无非是同时在各个方向上运用单变量微积分。

多元函数

- Functions of Several Variables

许多函数依赖多于一个的自变量。如$f(x, y) = x^2 + y^2$表示抛物面在点$P(x, y)$上方的高度。

二元函数

定义：二元函数

假定$D$是有序实数对$(x, y)$的集合，$D$上的二元实函数$f$是一个规则，它对$D$中的每一个有序对指定唯一的一个实数$w = f(x, y)$，$D$为定义域，$w$的取值集合为值域。

与一元函数相比，除了定义域略有不同，其它完全一致。

例：求函数的定义域和值域。

• $w = \sqrt{y - x^2}$：定义域是$y \geq x^2$，抛物线上方区域；值域是$[0, \infty)$
• $w = \sin xy$：定义域是全平面；值域是$[-1, 1]$

二元函数的定义域可以有内点和边界点，这跟一元函数区间的情形相似。

定义：内点、边界点、开集合闭集

$xy$平面上的集合$R$的一个点$(x_0, y_0)$是$R$的内点，如果它是一个含于$R$内的圆盘的中心。一个点$(x_0, y_0)$是$R$的边界点，如果每个以$(x_0, y_0)$为中心的圆盘有不属于$R$的点，也有不属于$R$的点（边界点本身不要求属于$R$）。

注：理解时，可类比于区间的内点与端点。

一个集合的内点全体构成其内部，边界点构成其边界。如果一个集合完全有内点构成，则称它为开集，如果一个集合包含它的所有边界点，则称之为闭集。

注：可类比于开区间、闭区间和半开半闭区间。

定义：有界集与无界集

一个平面集合是有界的，如果它包含在一个固定半径的圆盘里，否则是无界的。

二元函数的图像和等位线

有两种标准化方法形象化一个函数$f(x, y)$的值。一是在定义域里标注$f$有同一个值的曲线，即等位线，二是在空间里画曲面（与一元函数的曲线相对应）。

此外，等高线与等位线类似，很多时候不作区别。典型的等高线应用是地图，它可以看作是定义在经度纬度实数对上的函数。

计算机作图

在$Mathematica$中，可使用$Plot3D$作图：

1

Plot3D[Sin[x] Sin[y]^2, {x, 0, Pi}, {y, 0, Pi}]

三元及多元函数

二元函数的概念可以自然地推广到三元的情形。我们无法在三维框架内表示四维空间，但可考虑使用等位面来观察其行为。

内部、边界、有界性等概念也可以推广到三元函数。

最后，以上诸概念可以推广到$n$元函数$w = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$的情形。

高维函数的极限和连续

- Limits and Continuity in Higher Dimensions

多元函数极限的定义类似于一元函数，但有一个颇重要的区别。

二元函数的极限

在一元函数的情形下，我们说$x$趋于某值，其意义是明确的，自变量沿着$x$轴向指定点靠近。二元情形下，“趋于”变得复杂，因为自变量可以从无数种可能的方向上靠近指定点。

定义：二元函数的极限

当$(x, y)$趋于$(x_0, y_0)$时，函数$f$有极限$L$，如果给定给定任意正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得对所有在$f$定义域中且满足$0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$的点$(x, y)$有$|f(x, y) - L| < \epsilon$，写作

$$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = L$$

看起来有些复杂，其实是完全等价于一元函数的情形，主要区别是，所考察的定义域范围由”区间“变为”圆盘“。另外，圆盘也可以换作”正方形“，即$0 < |x - x_0| < \delta, 0 < |y - y_0| < \delta$。

求一元函数时，需要考虑左、右两个方向，二元函数则需要多个不同的方向，若干不同方向（或曰路径）有不同的极限，那么函数极限不存在。这一点可作为判别法使用。

例：求函数$f(x, y) = \frac{2x^2y}{x^4+y^2}$趋于$(0, 0)$时的极限。

解：沿路径$y = kx^2, x \neq 0$，函数有常数值$\frac{2k}{1+k^2}$，这说明函数沿不同路径趋于$(0, 0)$有不同极限，故函数极限不存在。

极限性质

按惯例，常规的和、差、积、商、幂等法则都是适用的。

二元函数连续性

其定义与一元函数本质上是一样的，即函数在点$(x_0, y_0)$有定义，在该点极限存在，两者相等。

多于二元的函数

二元函数的极限、连续之定义，以及和、差、积、商、幂法则，以及复合函数的性质都可以推广到多于二元的函数。

有界闭集上连续函数的极值

一元连续函数在闭区间上的极值性质可以推广到多元连续函数的情形。在多元的情形下，闭集有多种不同的可能，在平面上，可以是线段、圆盘和填满的三角形等，在空间内，可以是球体、立方体或球壳等。

具体如何求解极值，在后面介绍了导数后会了解到。

偏导数

- Partial Derivatives

对于多元函数，如果我们固定一个自变量之外的自变量，仅对这一自变量求导，就得到偏（partial）导数。

二元函数的偏导数

若$(x_0, y_0)$是函数定义域中一点，竖直平面$y = y_0$割曲面$z = f(x, y)$得到曲线$z = f(x, y_0)$。曲线在竖直平面内，成为关于$x$的一元函数，因此可以对其求出一般的导数。

定义：关于$x$的偏导数

在点$(x_0, y_0)$，$f(x, y)$对$x$的偏导数是

$\frac{\partial f}{\partial x} |_{(x_0, y_0)} = \frac{d}{dx}f(x, y_0)$

有时也记为$f_x(x_0, y_0)$。类似地，也可以定义$f(x, y)$对$y$的偏导数$f_y$。

现在来看，在$y = y_0$平面内，可由$f_x$找出过点$P(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$的切线，在$x = x_0$平面内，可作出过$P$的另一切线，这两条切线确定的平面是否是函数曲面的切平面呢？这个问题的解答有赖于更多关于偏导数的知识。

注：函数对$x$和$y$的偏导数，可理解为函数在两个不同方向或路径上的切线斜率，因此两者的值不等就不足为怪了。

隐函数的偏导数

与一元函数的求解方法相同。

多于二元的函数

不管有几个自变量，所谓偏导数总是仅对一个自变量而言，因而本质上它可以理解为一元函数的导数。

偏导数与连续性

一个函数可以在一个点有对于$x$和$y$的偏导数，但在该点不连续，这与一元函数的情形不同。这个可以这么理解，偏导数仅说明了在两个方向上函数的变化特征，但连续性却包含了任意可能的方向。

二阶偏导数

对函数$f(x, y)$求导两次，就得到二阶导数。

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$对$x$求导两次，$\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}$先对$y$求导，再对$x$求导。

定理：混合导数定理

若$f(x, y)$以及它的偏导数$f_x, f_y, f_{xy}, f_{yx}$定义在含点$(a, b)$的开集，且都在$(a, b)$连续，则

$$f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$$

也就是说，在计算二阶混合导数时，可按任意次序微分，从而可以先选择较易进行的计算。

更高阶的偏导数

没有什么能够阻挡对更高阶偏导数的计算，而且它们依然遵循混合导数定理。

可微性

二元函数的可微性出发点不是差商，而是增量。一元函数中，当$x$从$x_0$改变到$x_0 + \Delta x$时，$f$的改变用等式

$$\Delta y = f’(x_0) \Delta x + \epsilon \Delta x$$

给出，其中当$\Delta x \to 0$时，$\epsilon \to 0$。

定理：二元函数的增量定理

假定$f(x, y)$的一阶偏导数在包含$(x_0, y_0)$的一个开集上有定义，并且$f_x$和$f_y$在$(x_0, y_0)$连续，则从$(x_0, y_0)$移动到$(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$时引起的函数改变量$\Delta z$满足

$$\Delta z = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y$$

其中，当$\Delta x, \Delta y \to 0$时，$\epsilon_1, \epsilon_2 \to 0$

定义：二元函数的可微性

一个函数$z = f(x, y)$在$(x_0, y_0)$是可微的，若$f_x(x_0, y_0)$和$f_y(x_0, y_0)$存在，且$\Delta z$满足

$$\Delta z = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y$$

其中，当$\Delta x, \Delta y \to 0$时，$\epsilon_1, \epsilon_2 \to 0$。如果函数在定义域的每个点都是可微的，那么说函数是可微的。

增量定理的推论：偏导数的连续性蕴含可微性

定理：可微性蕴含连续性

链式法则

我们可以在适当定义域内复合多变量函数，这跟建立单变量函数的复合一样。一元函数的链式法则表示为

$$\frac{dw}{dt} = \frac{dw}{dx} \frac{dx}{dt}$$

定理：二元函数的链式法则

若$w = f(x, y)$是可微的，而$x$和$y$是$t$的可微函数，则$w$是$t$的可微函数，并且

$$\frac{dw}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

TODO：定理5的证明需要再看一遍。

注：该定理的记忆可按照树形图解，该方法也适用于更高维的函数。

定理：三元函数的链式法则

若$w = f(x, y, z)$是可微的，而$x$、$y$和$z$是$t$的可微函数，则$w$是$t$的可微函数，并且

$$\frac{dw}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{dz}{dt}$$

注意到这两个链式法则最后都是一元的，如果是多于一元的，那么将有关于偏导数的链式法则，比如$x, y, z$到$r, s$，然后求$w$关于$r, s$的偏导数。又或者是一对多的情况，从$x$到$r, s$，那么也可以求$w$关于$r, s$的偏导数。

链式法则确然是多才多艺的，如此结论还有证据，即它还可以简化隐函数求导过程。

隐函数求导法

假定$F(x, y)$是可微的，并且方程$F(x, y) = 0$定义$y$为$x$的可微函数。则在$F_y \neq 0$的点，

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{F_x}{F_y}$$

证：令$w = F(x, y) = 0$，此时可定义$y = h(x), x = x$，这样可应用链式法则，从而

$$\frac{dw}{dx} = F_x\frac{dx}{dx} + F_y\frac{dy}{dx} = 0$$

这样证明了隐函数微分公式。

链式法则小结

上面可以看到链式法则的不同应用场景，但它们都遵循同一个公式或思路。想象有一个树形结构，从因变量到中间变量再到自变量，为求得选定自变量的导数，从因变量开始，往下读树的每条路径到自变量，各条路径导数之和即为所求。

方向导数、梯度向量和切平面

- Directional Derivatives, Gradient Vectors, and Tangent Planes

如果我们看一下等高线地图，会发现河流都是垂直于等高线流动，即沿着最陡峭的路径流动。本节将分析为何大自然如此安排河流的走向。

平面内的方向导数

假定函数$f(x, y)$定义在$xy$平面的区域$R$内，$P_0(x_0, y_0)$是$R$中的一个点，而$u = u_1i + u_2j$是一个单位向量，则方程

$$x = x_0 + su_1, y = y_0 + su_2$$

是过$P_0$且平行于$u$的直线的参数方程。我们通过计算在$P_0$的$df/ds$来求$f$在$P_0$沿方向$u$的变化率。

定义：方向导数

$f$在$P_0(x_0, y_0)$沿单位向量$u = u_1i + u_2j$的方向的导数是数

$$(\frac{df}{ds})_{u, P_0} = \lim_{s \to 0} \frac{f(x_0 + su_1, y_0 + su_2) - f(x_0, y_0)}{s}$$

如果极限存在的话。方向导数又可以表示为$(D_uf)_{P_0}$

初次看到方向导数的定义会感觉比较抽象，因为里面涉及到一个单位向量，这似乎和目前为止所遇到的各种导数都不同。但其实本质并无不同。想一想偏导数的定义，当我们求$f_x$时，是固定$y$的值，求$f$关于$x$的导数，此时自变量沿着直线$y = y_0$变化，于是也可以说$f$沿着单位向量$u = i$的方向变化。这样偏导数就是一种特殊的方向导数了。另一方面，既然$f$可以沿着$y = y_0$变化，就也可以沿着其它方向变化，将方向以单位向量变化，就得到方向导数的定义了。可以说，方向导数推广了两个偏导数。

几何上，相当于以垂直于$xy$平面的一个平面切割曲面，求所得曲线在某点的导数。

方向导数的计算

对方向导数的定义应用链式法则，可以简化其计算

$$(\frac{df}{ds})_{u, P_0} = [(\frac{\partial f}{\partial x})_{P_0} i + (\frac{\partial f}{\partial y})_{P_0}j] \cdot [u_1 i + u_2 j]$$

这样就引出了梯度向量的概念。

梯度向量

定义：梯度向量或梯度

$f(x, y)$在点$P_0(x_0, y_0)$的梯度向量是由$f$在$P_0$的偏导数得到的向量

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y}j$

注意到，函数在一点的偏导数是固定值，故方向梯度是由函数与点本身确定的，与方向导数无关。

综上，得出如下结论：

定理：方向导数是点积

若$f(x, y)$在$P_0(x_0, y_0)$可微，则

$$(\frac{df}{ds})_{u, P_0} = (\nabla f)_{P_0} \cdot u$$

只要计算梯度向量与方向向量的点积即可。

方向导数的性质

$(D_uf)_{P_0} = (\nabla f)_{P_0} \cdot u = |\nabla f||u|\cos \theta = |\nabla f| \cos \theta$

其中$\theta$是向量与梯度向量的夹角，此公式揭示出以下性质：

• 函数$f$当$\cos \theta = 1$时，或当$u$是梯度的方向时增加最快
• 函数$f$当$\cos \theta = -1$时，或当$u$是梯度的反方向时减少最快
• 正交于梯度的方向$u$是$f$变化率为零的方向，此时$\theta = \pi/2$，方向导数为0。

梯度和等高线的切线

若一个可微函数$f(x, y)$沿一条光滑曲线$r = g(t) i + h(t) j$取常数值$c$（从而该曲线成为函数的一条等高线（level curve）），有$f(g(t), h(t)) = c$，对$t$求导此等式两端并应用链式法则，得到

$$(\frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y}j) \cdot (\frac{dg}{dt}i + \frac{dh}{dt}j) = 0$$

即梯度向量正交于切向量$\frac{dr}{dt}$，于是它正交于切线。所以，我们的结论是$f$的梯度正交于过一点的等高线。

河流必须是以最快的方式往下流动的，而最快即沿着负梯度向量的方向，从而必然垂直于等高线。

既然如此，便可由梯度求得等高线的切线方程。过$P_0(x_0, y_0)$垂直于向量$Ai + Bj$的直线方程是

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$$

故切线方程为

$$f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) = 0$$

梯度的代数法则

梯度计算满足若干代数法则，如和、差、积和商的梯度，对于积和商有：

• $\nabla (fg) = f \nabla g + g \nabla f$
• $\nabla (f/g) = \frac{g \nabla f - f \nabla g}{g^2}$

增量和距离

若要估计从点$P_0$到邻近的另外一点移动一个小的距离，函数变化有多少，通常会用到方向导数。在一元函数中，这种估计即是微分$df = f’(P_0)ds$，二元函数与此类似：

$$df = (\nabla f|_{P_0} \cdot u)ds$$

即方向导数乘以该方向上移动的距离。以平面之切片来看，完全是一元函数的样子。

三元函数

在三元函数例，梯度向量和方向导数有着完全一致的定义和性质。比如沿梯度增加最快，正交于梯度则方向导数为0。

切平面和法线

等位面$f(x, y, z) = c$在点$P_0(x_0, y_0, z_0)$的切平面是过点$P_0$正交于$\nabla|_{P_0}$的平面，曲面在$P_0$的法线是过$P_0$平行于$\nabla|_{P_0}$的直线。

这里的切平面对应于二元函数下的切线。切平面和法线的方程分别是：

$$f_x(P_0)(x - x_0) + f_y(P_0)(y - y_0) + f_z(P_0)(z - z_0) = 0$$

$$x = x_0 + f_x(P_0)t, y = y_0 + f_y(P_0)t, z = z_0 + f_z(P_0)t$$

线性化和微分

- Linearization and Differentials

一元函数的线性化和微分可以推广到多元函数。

二元函数的线性化

如果$z = f(x, y)$在$(x_0, y_0)$是可微的，那么由增量定理可知

$$\Delta z = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y$$

当$\Delta x$和$\Delta y$足够小的时候，后两项可以忽略，这样就得到了线性化。

定义：线性化、标准线性逼近

当函数$f$可微时，$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的线性化是函数

$$L(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

逼近$f(x, y) = L(x, y)$是函数的标准线性逼近。

可以看到，$L(x, y)$也是函数在该点的切平面，正如微分是一元函数的切线。

标准线性逼近的精确度

假定$L(x, y)$是可微函数$f$的线性化，那么此逼近的精确度是多少？它依赖于三个因素：

• $\Delta x$
• $\Delta y$
• $f$在点附近用二阶导数的大小衡量的”弯曲程度“

由此得到如下结论：标准线性逼近的误差

若$f$在包含以$(x_0, y_0)$为中心的矩形$R$的开集上有连续的一阶和二阶导数，而$M$是$|f_{xx}|, |f_{xy}, |f_{yy}|$的值在$R$上的一个上界，则标准线性逼近带来的误差$E(x, y)$满足：

$$|E(x, y)| \leq \frac{1}{2}M(|x - x_0| + |y - y_0|)^2$$

全微分

以$L$线性化时，$\Delta L = f_x(x_0, y_0)\Delta x + f_y(x_0, y_0)\Delta y$，由此可得全微分之定义。

定义：全微分

如果我们从$(x_0, y_0)$移动到附近的点$(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$，由此引起的线性化的变化

$$df = f_x(x_0, y_0)dx + f_y(x_0, y_0)dy$$

称为$f$的全微分。

全微分可用于了解函数对于自变量变化的敏感性。

对于两元的函数

二元函数中的线性化、全微分概念可以自然地推广到多于二元的函数。

极值和鞍点

- Extreme Values and Saddle Points

求多元函数的极值以及极值点是多元微分学的重要应用之一。在本节我们将讨论如何通过偏导数来解决此类问题。

闭有界区域上的状况

一元函数情形下，导数用于了解函数的极值点，极值只可能出现在端点和临界点。同时导数为零的点未必取到极值。比如，在拐点处没有极值。

二元函数呈现类似的情况。它的极值也是仅出现在区域边界点或两个偏导数为零的内点，或至少有一个偏导数不存在的点。对应于拐点的是鞍点。

局部极值的导数判别法

二元函数有与一元函数类似的局部极大值与极小值概念，不再赘述。

局部极大值对应曲面的山峰，局部极小值则对应曲面的谷底。在这样的点，如果切平面是存在的，那么它必是水平的。局部极值判断的关键是一阶导数判别法。

定理：局部极值一阶导数判别法

若$f(x, y)$在定义域的一个内点$(a, b)$有局部极大值或局部极小值，且一阶偏导数在该点存在，那么有$f_x = f_y = 0$

若求出该点的切平面，则是$z = f(a, b)$，这是曲面的水平切平面。

这样，二元函数$f(x, y)$仅有的极值点位置包括：

• 在使$f_x = f_y = 0$的内点（即上面定理）
• $f_x$和$f_y$的一个或两个不存在的内点
• 定义域的边界点

前两类又称为临界点。

鞍点

一个可微函数$f(x, y)$在一个临界点$(a, b)$取鞍点，如果在以$(a, b)$为中心的每个开圆盘内既存在点满足$f(x, y) > f(a, b)$，又存在点满足$f(x, y) < f(a, b)$。

例：函数$z = y^2 - x^2$在$(0, 0)$取到鞍点。

定理：局部极值的二阶导数判别法

假定$f$和它的一阶及二阶导数在以$(a, b)$为中心的一个圆盘内连续，且$f_x(a, b) = f_y(a, b) = 0$。

1. 如果在$(a, b), f_{xx} < 0且f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 > 0$，则$f$在该点取得局部极大值
2. 如果在$(a, b), f_{xx} > 0且f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 > 0$，则$f$在该点取得局部极小值
3. 如果在$(a, b), f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 < 0$，则$f$在该点取得鞍点
4. 如果在$(a, b), f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 0$，则判别法无法得出结论，需借助它法。

$f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$称为函数的判别式，或$Hess$，有时以行列式的形式记忆之。

闭有界区域上的绝对最大值和最小值

与一元函数类似，分为三步：

• 检查$R$的内点中的临界点
• 检查边界点
• 查看列表

拉格朗日乘子

- Lagrange Multipliers

有的极值问题，定义域约束在平面的某个特殊子集，比如一个圆盘或闭三角形区域，当然也可以有其它类型的约束。拉格朗日乘子是求函数约束极值的强有力的方法。

对于11.8例1中那样的问题，使用替换法可以解决，但并非最有效的方法。

拉格朗日乘子法

定理：正交梯度定理

假定$f(x, y, z)$在一个其内部含有以下曲线的区域内可微：

$$C: r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k$$

若$P_0$是$C$上的点，在该点$f$取相对于$C$上其它值的局部最大值或最小值，则$\nabla f$在$P_0$正交于$C$。

推论：取消正交梯度定理中含$z$的项，则可得到关于二元函数的结果。

此定理是拉格朗日乘子法的关键。

拉格朗日乘子法：假定$f(x, y, z)$和$g(x, y, z)$是可微的，为求$f$在约束$g(x, y, z) = 0$下的局部最大值和最小值，就求$x, y, z, \lambda$，使它们同时满足

$$\nabla f = \lambda \nabla g, g(x, y, z) = 0$$

对于二元的情形，则去掉$z$即可。

几何解释：例3和例4中，通过等高线的运动来理解正交梯度定理和拉格朗日乘子法。

带两个约束条件的乘子法

此类问题可看作一个约束条件的推广。在一个约束的情形，两个梯度平行，两个约束的情形下，原函数之梯度在两个约束函数之梯度所决定的平面上，故而可表示为后两者的线性组合。

此时有非常美妙的几何解释，详见11.8图11.64。

带约束变量的偏导数

- Partial Derivatives with Constrained Variables

暂从略。

两个变量的泰勒公式

- Taylor's Formula for Two Variables

暂从略。

平面向量和极坐标函数

- Vectors in the Plane and Polar Functions

当一个物体在$xy$平面上漫游时，参数方程$y = f(t)$和$y = g(t)$可用来作为物体的运动和路径模型。这一章将了解参数方程的向量方式，用它来描述运动物体的轨迹，并计算其速度和加速度。

向量函数的一个主要作用是分析空间运动，行星运动最好用极坐标描述（由雅各布·伯努利首先发表），因为我们也将了解如何在这一新坐标系下分析曲线、导数和积分。

平面向量

- Vectors in the Plane

我们测量时用到的量，分为两类，一是标量（Scalar），或称纯量，表示单纯的数值，如长度、质量与速率等；二是向量（Vector），或称矢量（因带有箭头而颇为形象），兼有大小与方向，如位移、速度与力等。

分量形式

向量用有向线段表示，箭头所向表示方向，长度指定大小。有向线段用$\overrightarrow{AB}$这样的形式表示，A、B分别为起点和终点；其长度用$|\overrightarrow{AB}|$表示。

如果两条有向线段长度相等且方向相同，则它们是相等的。更进一步，我们认为它们表示同一向量。（类似于，两个标量相等，则它们表示同一个量）

在笛卡尔坐标系中，两点确定出一条有向线段，从而它的长度与方向（即斜率）可以计算，因此可以确定两个向量是否相等。

与向量$v$相等的有向线段中，起点位于原点的那个是唯一的，称为$v$的标准位置。

定义：向量的分量形式

如果平面上的向量$v$的标准位置终点在$(v_1, v_2)$，那么$v$的分量形式是：

$$v = <v_1, v_2>$$

如此，平面上的向量与实数的有序对是一一对应的。这里$v_1$和$v_2$称为$v$的分量。向量$<v_1, v_2>$称为点$(v_1, v_2)$的位置向量。

若向量$v = <v_1, v_2>$用有向线段$\overrightarrow{PQ}$，P、Q坐标分别是$(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$，则$v$的分量是：

$$v = <x_2 - x_1, y_2 - y_1>$$

向量$\overrightarrow{PQ}$的长度或大小为：

$$|v| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

以上，都是中学数学解析几何的内容。

零向量与单位向量

零向量是$0 = <0, 0>$，长度为零，方向则不确定。

任何长度为1的向量$v$是单位向量。若$v$与正$x$轴夹角为$\theta$，则$v$的分量可表示为：

$$v = <\cos \theta, \sin \theta>$$

$\theta$从$0$变化到$2\pi$时，单位向量取遍所有可能的方向。

向量的代数运算

向量的两个主要运算是加法与数乘。

定义：向量加法与数乘

设$u = <u_1, u_2>, v = <v_1, v_2>$，$k$是实数

• 加法：$u + v = <u_1 + v_1, u_2 + v_2>$
• 数乘：$ku = <ku_1, ku_2>$

向量加法在几何上可使用三角形法则或平行四边形法则，一种非常直观的理解是物理中的位移概念。

至于数乘，若$k$为正，则$ku$的方向与$u$同；若$k$为负，则$ku$的方向与$u$反。另一方面，$|ku| = |k| \cdot |u|$。特别地，$(-1)u = -u$。

定义：向量的差

$$u - v = u + (-u) = <u_1 - v_1, u_1 - u_2>$$

注意到$(u - v) + v = u$，故向量加法与减法类似于数的加减法，减法可看作加法的逆运算。

标准单位向量

任何平面向量$v = <a, b>$都可以写成标准单位向量

$$i = <1, 0>, j = <0, 1>$$

的线性组合：$v = a<1, 0> + b<0, 1> = ai + bj$。$a$和$b$分别称为水平分量/i分量和垂直分量/j分量。

例：一个向量可以表示为与其同方向单位向量的数乘，求$v = 3i - 4j$的此种表示。

解：$|v| = 5$，那么$\frac{v}{|v|}$即为与其同方向的单位向量，令其乘以$|v|$即可得到原向量。结果是$v = 5(\frac{3}{5}i - \frac{4}{5}j)$。

$\frac{v}{|v|}$是与$v$同方向的单位向量，也称为$v$的方向。

切线和法线

一个向量是一条曲线在一个点$P$的切向量或法向量，如果它分别平行或垂直于曲线在该点的切线。切线斜率可由导数计算，而法线斜率则是导数的负倒数。

例：在曲线路径上，速度是切向量，如果物体受到法向量方向上的力，速度会发生变化。

点积

- Dot Products

本节将了解如何通过向量分量计算两个向量的夹角，其关键是称为点积的表达式，点积亦称为数量积。之后还会介绍如何求解一个向量在另一个向量上的投影。

中学物理中，力的分解将一个向量分解为两个方向上的分量。特别地，如果要求力$F$在$v$的方向上的大小，改大小可以表示为$|F|\cos \theta$，这里的$\theta$是两向量的夹角。

向量夹角

如果两向量$u, v$起点重合，它们形成大小为$\theta$的角，这个角称为两者的夹角。

定理：两向量的夹角

两个非零向量$u = <u_1, u_2>$和$v = <v_1, v_2>$的夹角由如下公式给出：

$$\theta = cos^{-1} \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{|u| |v|}$$

式中的分子部分称为向量的点积或内积，即各分量乘积之和，记为$u \cdot v$。故上述公式又可表示为：

$$\theta = cos^{-1} \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$$

此定理可由三角形的余弦定理证明。该等式又可变形为：

$$u \cdot v = |u| |v| \cos \theta$$

点积法则

依实数性质，点积遵循若干运算法则，如交换律、分配律等，特别地有：$u \cdot u = |u|^2$

垂直（正交）向量

若两个非零向量$u, v$夹角为$\pi/2$，那么它们是垂直的或正交的。此时由夹角定理可知，$u \cdot v = 0$，反之亦成立。

由于零向量可以是任意方向的，故零向量垂直于任意向量。这样的规定也符合上段的结论。

向量投影

向量$u, v$起点重合，从$u$终点引垂线，由起点与垂足确定的向量称为$u$在$v$上的投影，记为$proj_vu$。其计算公式为：

$$proj_vu = (|u|\cos \theta ) \frac{v}{|v|} = (\frac{u \cdot v}{|v|^2}) v$$

其中$|u|\cos \theta$称为$u$在$v$方向上的数值分量。

把一个向量写成正交向量之和

由向量投影的定义，$v$与$u - proj_vu$是正交的，而且它们的和等于$u$，这样就得到了将$u$分解的方法：

$$u = proj_vu + (u - proj_vu)$$

扩展

柯西-施瓦茨不等式：$|u \cdot v| \leq |u| |v|$，当两向量平行时等号成立。

垂直于向量的直线：向量$v = ai + bj$垂直于直线$ax + by = c$。

平行于向量的直线：向量$v = ai + bj$平行于直线$bx - ay = c$。

向量值函数

- Vector-Valued Functions

本节将以向量来研究平面上运动物体的路径、速度与加速度，其中有许多微分和积分概念从数值函数推广到了向量值函数。

平面曲线

当一个质点历经时间区间$I$在平面运动时，质点的坐标可看作定义在区间上的函数

$$x = f(t), y = g(t), t \in I$$

注：这又回到开始时接触到的参数方程。之所以选用参数方程而不是一般的$(x, y)$方程，是因为在诸如运动这类问题中，时间是更自然的自变量，而选择了时间作自变量，那么$(x, y)$也就自然地分开表示了。如果不用时间，那么何者为$x$，何者为$y$？它们的关系如何表示？

点$(x, y) = (f(t), g(t))$形成平面上的曲线，称为质点的路径。在时刻$t$的位置$P(f(t), g(t))$的向量

$$r(t) = \overrightarrow{OP} = <f(t), g(t)> = f(t) \text{i} + g(t)\text{j}$$

称为质点的位置向量。因此$f, g$称为位置向量的分量函数。于是质点的路径是经由时间区间$I$由$r$描绘的曲线。

$r(t)$定义在实变量上，函数值为向量，这就是所谓的向量值函数。相对地，一般实数值函数称为标量函数。

例：$r(t) = (t\cos t)i + (t\sin t)j, t \geq 0$表示一条螺线。

极限与连续

定义：向量值函数极限

若$r$的两分量函数在某点皆有极限，那么$r$也有极限：

$$\lim_{t \to c} r(t) = \lim_{t \to c} f(t)i + \lim_{t \to c} g(t)j$$

定义：连续性

若$\lim_{t \to c} r(t) = r(c)$，则$r$在$c$连续。

由极限定义可知，$r$在$c$连续，当且仅当$f$和$g$在$c$连续。

导数

定义：向量值函数在一点的导数

向量函数$r = fi + gj$在$t$有导数，若$f$和$g$在$t$有导数。导数是：

$$r’(t) = \frac{dr}{dt} = \frac{df}{dt}i + \frac{dg}{dt}j$$

注：目前可见，上述定义都是标量函数相应概念的自然推广。

若$r$在定义域内每个点都是可微的，那么说$r$是可微的。若$dr/dt$是连续的且从不为0（注意这里是零向量），那么说$r$描绘的曲线是光滑的（这意味着$f$和$g$有连续一阶导数且不同时为零）。

向量$dr/dt$存在且不为零时，$dr/dt$是曲线在该点的切向量，以此可求出曲线的切线。

向量值函数的导数是按分量计算的，而分量函数皆是一般的标量函数，因此向量值函数的导数继承了很多标量函数的性质，比较特别的是如下两个：

• 点积法则：$\frac{d}{dt}[u(t) \cdot v(t)] = u’(t) \cdot v(t) + v’(t) \cdot u(t)$
• 链式法则：$\frac{d}{dt}[u(f(t)] = f’(t) u’(f(t))$
• 标量乘积法则：$\frac{d}{dt}[f(t)u(t)] = f’(t)u(t) + f(t)u’(t)$

注意其中标量函数与向量值函数交错的地方。

向量函数在运动中的应用

在将质点的运动路径以向量表示后，速度、加速度等也随之确定下来了。

定义：速度、速率、加速度、运动的方向

若$r$是沿光滑平面曲线运动的质点的位置向量，则在时刻$t$，

1. $v(t) = \frac{dr}{dt}$是质点的速度向量，与曲线相切
2. $|v(t)|$是速度的大小，即速率
3. $a(t) = \frac{dv}{dt}$，速度的导数，或位置向量的二阶导数，称为加速度向量
4. $\frac{v}{|v|}$，一个单位向量，是运动的方向。

速度可以写成$|v|(\frac{v}{|v|})$，此即速率与方向之乘积。

至此可以看到，表示运动的函数向量化以后，相应的各个量都能容易地转为向量。

积分

定义：不定积分

$r$对$t$的不定积分是$r$的所有反导数的几何，用$\int r(t)dt$表示，若$R$是任一反导数，则有

$$\int r(t)dt = R(t) + C$$

定义：定积分

$$\int_{a}^{b} r(t)dt = (\int_{a}^{b} f(t)dt)i + (\int_{a}^{b} g(t)dt)j$$

可以说：积分之分量等于分量之积分。

注：微积分基本定理也适用于向量值函数（见习题9.3 43）：

• $$\frac{d}{dt}\int_{a}^{t}r(q)dq = r(t)$$
• $$\int_{a}^{b}r(t)dt = R(b) - R(a)$$

对抛射体运动建模

- Modeling Projectile Motion

暂从略。

极坐标和图形

- Polar Coordinates and Graphs

极坐标系

中学解析几何已经学习过极坐标系，它包含一个极点和一条极轴，这样平面上任一点都可以指定一个极坐标$(r, \theta)$。

$\theta$与三角学中的情形一样，有正负之分。同时一个给定点的角不是唯一的，因为不同的角可以重合；而且$r$也有正负之分，如果$r$为负，表示其方向与一般定义的方向相反。故$(2, 7\pi/6)$与$(-2, \pi/6)$表示同一个点。

极图形

• $r = a$，表示圆心在极点，半径为$|a|$的圆；
• $\theta = \alpha$，表示过极点的一条直线。

其他内容

暂从略。

空间中的向量和运动

- Vectors and Motion in Space

无穷级数的求和这一无穷过程曾困扰数学家们长达几个世纪，因为它有多种不同的情况，有时是一个有限值，有时是无穷大的，有时则可能取到多个值。

尽管如此，像欧拉和拉普拉斯这样伟大的数学家还是使用无穷级数推导出了很多前人难以接受的结果。若干年后柯西建立了级数计算的理论基础。

无穷级数是一个强大工具的基础，这个工具能使我们把许多函数表示成无穷多项式（幂级数），并告诉我们把它截断成有限多项式时有多少误差。称为傅里叶级数的三角函数项无穷级数在科学和工程中有颇为重要的应用。无穷级数提供了一个有效的方法来计算非初等积分的值。

无穷序列的极限

序列是事物的有序列表，本章这些事物都是数，故可称为数列。中学中接触过数列，当时主要是关注有穷数列，而本章主要关注的是无穷序列。

定义：数的无穷序列是一个函数，它的定义域是大于或等于某个整数$n_0$的整数集。

$n_0$通常是1，此时定义域是正整数集。此定义的核心是序列是一个函数，即一种对应关系。

记号

此函数同一般函数一样，可以表示为解析式，如$a(n) = \sqrt{n}$。值得注意的是，函数名一般用$a$而不是$f$，自变量则一般用字母表中间的$n$而不是末端的$x$等。我们说$a(n)$是序列的第$n$项，也经常表示为$a_n$。

我们把第$n$项为$a_n$的序列表示成${a_n}$，具体表达式的例子则是${ \frac{1}{n} }$。

收敛与发散

序列的变化趋势有不同的情况，比如：

• ${ 3 }$、${ 1/n }$、${ (n-1)/n }$，这三个序列都在$n$增加是趋向于唯一的极限值
• ${ \frac{(-1)^{n+1}(n-1)}{n} }$的项则集中在两个不同的值周围
• ${ \sqrt{n} }$的项不断增加而不集中在任何值的周围。

定义：（收敛、发散和极限）

序列${ a_n }$收敛到数$L$，如果对于每个正数$\epsilon$，都对应一个整数$N$，使得对所有$n$：

$$n > N \Rightarrow |a_n - L| < \epsilon$$

这里的数$L$称为序列的极限。直观上来说，就是不管给一个如何小的数，在某一项之后，序列的项到$L$的距离都不会超过这个数，换言之，都集中在$L$附近。此定义与一般函数的极限是很接近的。

若这样的数$L$不存在，我们说${ a_n }$发散。

计算序列极限的三个定理

有三个关于序列极限的定理，使得极限计算大为简化。一是四则运算。

二是夹逼定理，夹逼定理还有一个推论：若$|b_n| \leq c_n$且$c_n \to 0$，则$b_n \to 0$。

例：$\frac{1}{2^n} \leq \frac{1}{n}$，故$\frac{1}{2^n} \to 0$。同理，$\frac{\cos n}{n} \to 0$。

三是序列的连续函数定理：

若${ a_n }$是一个实数序列，若${ a_n } \to L$，且$f$是一个在$L$连续，并对所有$a_n$有定义的函数，那么有$f(a_n) \to f(L)$。

例：$\sqrt{(n+1)/n} \to \sqrt{1} = 1$，$2^{1/n} \to 2^{0} = 1$。

洛必达法则的应用

洛必达应用于一般的函数，而非序列。要应用洛必达法则，需要先了解这个定理：

假定$f(x)$是一个对于所有$x \geq n_0$有定义的函数，而${a_n}$是一个对$n \geq n_0$满足$a_n = f(n)$的序列，则有

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Rightarrow lim_{n \to \infty}a_n = L$$

直观上这是很容易理解的，因为序列实际上定义在函数定义域的子集上，函数有极限，那么序列必然也有等值的极限。通过这个定理，序列极限转换为函数极限，然后就可以应用洛必达法则了。

常用极限简表

1. ${ k } \to k$
2. ${ \frac{1}{n} } \to 0$
3. ${ \frac{\ln n}{n} } \to 0$
4. ${ \sqrt[n]{n} } \to 1$
5. ${ x^{1/n} } \to 1 (x > 0)$
6. ${ x^{n} } \to 0 (|x| < 1)$
7. ${ (1+\frac{x}{n})^{n} } \to e^x, \forall x \in R$
8. ${ \frac{x^n}{n!} } \to 0, \forall x \in R$

注：在#7，$x$可以是任意实数，包括0和负数。

扩展

拉链定理：

若${ a_n }$和${ b_n }$都收敛到$L$，则序列

$$a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots, a_n, b_n, \cdots$$

也收敛到$L$。

子序列、有界序列和皮卡方法

- Subsequences, Bounded Sequences, and Picard's Method

本节继续对序列收敛性的讨论。

子序列

如果一个序列保持其次序出现在另一序列中，则称第一个序列为第一个序列的子序列。常见的例子，正偶整数序列是自然数序列的子序列。

基于两个原因，子序列是重要的：

1. 如果一个序列收敛到$L$，则它的每个子序列收敛到$L$。如果我们知道一个序列收敛，那么它的极限也可以通过一个特殊的子序列来求得。
2. 如果序列的某个子序列发散，或者有两个子序列收敛到不同极限，那么该序列必发散。

子序列的重要情形是序列的尾部，即一个序列从某个指标$N$开始的项组成的子序列。一个序列的收敛性与其开头部分无关，仅依赖于尾部的状况。

单调有界序列

序列是一种特殊的函数，因此也可以定义其单调性，并可称序列是非减的（递增的）和非增的（递减的）。

同时，也可依函数的方式定义序列的有界性，并可称序列是有上界的、有下界的和有界的。

并非每个有界序列都收敛，也不是每个单调序列都收敛，那如果序列同时是有界的和单调的呢？看下面的定理。

单调序列定理

每个单调有界序列是收敛的。

例：序列${ \frac{n}{n+1} }$是非减的，因此有下界，同时也有上界1，因此它必定收敛。

递归地定义序列

这个已经属于常见内容了，尤其是接触过编程的话。常见的递归定义当属阶乘序列与斐波那契数列，之前在应用牛顿法时，实际上也以递归的方式定义了序列。

皮卡方法

一种求方程解的计算方法，与函数的不动点相关。之所以要在序列这里提到，是因为它同牛顿法类似，以递归方式定义了一个序列，该序列在满足某些前提条件是会逼近方程的解。

无穷级数

- Infinite Series

在数学和科学中，我们时常把函数写成无穷多项式，比如

$$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + \cdots, |x| < 1$$

稍后我们会看到这么做的重要性。对$x$的任何允许值，我们把无穷多个数的和作为多项式的值，这个和我们成为一个无穷级数。

级数与部分和

级数是无穷多个数的和，因此它与一般的有限个数的加法不同。有限个数的加法满足一些运算律，而无穷级数则未必满足。我们该怎样界定像

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$$

这样的表达式的意义呢？这里采用的方式不可能是诸项相加以求其值，我们转而计算部分和，然后考察部分和的变化模式。

对上面这个级数来说，其部分和构成一个序列，第$n$项为$s_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$，部分和的极限为2，这样我们称该无穷级数的和为2。

极限再一次发挥了重要作用。注意到没有任何一个部分和确切地等于2，但我们把它的极限定义为级数的和，就像在求切线斜率和曲边梯形面积时一样。

总结一下，我们把无穷多个数的和称为无穷级数，它的收敛性通过其部分和序列的收敛性决定。

例：级数$\frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \cdots + \frac{3}{10^n} + \cdots$是否收敛？

解：把部分和写成小数形式，可以识别出部分和序列的极限是$0.\bar{3}$，即$\frac{1}{3}$。

在研究级数$a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots$时，我们通常用求和符合来表示之，如$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$。

几何级数

上例的级数是一个几何级数，因为它每一项都是由前一项乘以同一常数$r$得到，其中的$r = 1/10$。这对应于中学里的等比数列。

几何级数是形如

$$a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}$$

的级数，$a$和$r$都不为零，公比$r$正负皆可。

现在来看它的收敛性。若$|r| \neq 1$，部分和为$s_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$，因此若$|r| < 1$，则级数收敛至$\frac{a}{1-r}$，否则发散。若$|r| = 1$，级数同样发散。

因此，几何级数仅在$|r| < 1$时收敛，和为$\frac{a}{1-r}$，而区间$-1 < r < 1$称为收敛半径。

可以发现，几何级数是一类比较单纯的级数，它的收敛性与和很容易判断。但一般的级数并非如此。

发散级数的第$n$项判别法

若级数收敛，那么部分和序列在某项之后将会任意接近极限，那么将有$s_n - s_{n-1} = a_n \to 0$，也就是若级数收敛，则其第$n$项必然趋于0，这一结论的逆否命题就可以用来判定发散级数。此所谓发散级数的第$n$项判别法。

但该结论的逆命题不成立，即第$n$项趋于0，级数未必收敛，如$a_n = \frac{1}{n}$。

添加或取消项

对级数添加或删除有限项，不改变其收敛性，虽然收敛的时候，级数和可能会改变。

级数的组合

收敛级数的组合满足和、差与常倍数规则。

对于发散级数而言，它的非零常数倍依然是发散的；收敛级数与发散级数之和或差都发散。

扩展

雪花曲线：8.3习题51

非负项级数

本节考虑没有负项的级数。这类级数的一个重要特点是部分和序列是递增的，因此若确定它有上界，则它收敛。是为非负项级数收敛性的最基础的判别法：

若非负项级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$的部分和有上界，则它收敛。

因此可通过分析级数有上界来判定其收敛性，上界可通过多种不同的方法来判断，比如积分。

积分判别法

之所以可通过积分判定，是因为级数可转换为某个对应函数的黎曼和，此时的分割点在每个正整数上，级数就是每个小区间上矩形的面积之和，将此面积和与积分值比较，可能会确定出级数是否有上界。积分判别法具体如下：

设${ a_n }$是一个正数项序列，假定对$x \geq N$，$a_n = f(n)$，$f$是$x$的一个连续、正的递减函数，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$和积分$\int_{N}^{\infty}f(x)dx$同时收敛或同时发散。

注：两者虽收敛性相同，但极限未必是一致的。

调和级数和p-级数

形如$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$的级数称为p-级数，它的收敛性可以方便地由积分判别法来断定。当$p > 1$时积分收敛，当$p \leq 1$时积分发散，此结论亦适用于相应的p-级数。

$p = 1$时的p-级数称为调和级数，它或许是数学中最著名的发散级数。在p-级数家族中，调和级数是收敛与发散者的分界点，或者说是“勉强发散的”。

注：调和级数收敛极慢，比如若要它的部分和$H_n > 20$，则$n$需要超过1亿。

比较判别法

现在了解了几何级数、调和级数两类级数，然后还有积分判别法助阵，已经颇可以判断一些级数的收敛性了。但实际上这些仍只是很狭窄的几类，我们需要更多判别法。这里讨论一类判别法，这些判别法通过不同的比较方法，将级数收敛性的判定转化为已知级数的收敛性判定。

直接比较判别法

设$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$是非负项级数

• 若存在收敛级数$\sum_{n=1}^{\infty} c_n$和一个整数$N$，使得对所有$n > N$有$a_n \leq c_n$，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$也收敛。
• 若存在非负项发散级数$\sum_{n=1}^{\infty} d_n$和一个整数$N$，使得对所有$n > N$有$a_n \geq d_n$，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$也发散。

这两部分可通过有界性判别法证明。只要注意，级数的的收敛性不受前面有限项的影响，因此可以仅考察$n > N$的项的情况。

例：当$n \geq 2$时，$\frac{1}{n!} \leq \frac{1}{2^n}$，而$\sum_{n=1}^{\infty} (1/2^n)$收敛，故$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$也收敛。

极限比较判别法

考察两个级数项之比的极限，我们可以了解两者项的接近程度，从而可以借由其中一个推出另一个的情况。极限比较判别法具体如下：

1. 若$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c, c > 0$，则两者收敛性同。
2. 若$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0$，而$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$也收敛。
3. 若$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \infty$，而$\sum b_n$发散，则$\sum a_n$也发散。

该判别法的证明可通过直接判别法证明。

比值判别法

比较判别法是通过已知级数判定未知者的收敛性，比值判别法则比较相邻项之大小以考察级数项的增长速度。对于几何级数来说，任一项与前面一项之比为常数$r$，当$|r|$小于1时，级数收敛。比值判别法是对此结论的推广。

比值判别法：

设$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$是正项级数，假定$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho$，则

1. 若$\rho < 1$，级数收敛；
2. 若$\rho > 1$或$\infty$，级数发散；
3. 若$\rho = 1$，则级数收敛性不能确定。

直观上，对于1，存在某个收敛的几何级数，$\sum a_n$项的减小速度比之更快，从而收敛；对于2，与1类似；对于3，考虑$\sum \frac{1}{n}$与$\sum \frac{1}{n^2}$。

$n$次根判别法

$n$次根判别法与比值判别法思路类似：

设$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$是非负项级数，假定$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho$，则

1. 若$\rho < 1$，级数收敛；
2. 若$\rho > 1$或$\infty$，级数发散；
3. 若$\rho = 1$，则级数收敛性不能确定。

交错级数、绝对收敛与条件收敛

- Alternating Series, Absolute and Conditional Convergence

上节我们讨论的级数都属于非负项级数，本节会讨论带有负项的级数，一个重要的例子是交错级数，它的项符号正负交替。

交错级数

如果一个级数的各项交替地是正和负的，那么它是交错级数。

例：$\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n} + \cdots$称为交错调和级数。

定理：交错级数判别法（Leibniz定理）

级数

$$\sum (-1)^{n+1} u_n = u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots$$

收敛，如果下列条件满足：

1. $u_n$全是正的；
2. 对某个$N$，对所有$n \geq N$，$u_n >= u_{n+1}$；
3. $u_n \to 0$

证：先看级数的前面偶数项，设$n = 2m$，前$n$项和为

$$s_{2m} = (u_1 - u_2) + (u_3 - u_4) + \cdots + (u_{2m-1} - u_{2m}) \
= u_1 - (u_2 - u_3) - \cdots - (u_{2m-2} - u_{2m-1}) - u_{2m}$$

第一个等式说明$s_{2m}$为$m$个非负项之和，因此${ s_{2m} }$是递增的；第二个等式说明$s_{2m} \leq u_1$，因此有上界，所有${ s_{2m} }$有极限，记为$L$。

再看级数的前面奇数项，设$n = 2m + 1$，则$s_{2m+1} = s_{2m} + u_{2m+1}$，因为$u_n \to 0$，故$u_{2m+1} \to 0$，故$\lim_{m \to \infty} s_{2m+1} = \lim_{m \to \infty} s_{2m} = L$

综合这两种情形，即有$\lim_{n \to \infty} s_n = L$。

再仔细点看一下这里的交错级数。

$$s_{2m} = (u_1 - u_2) + (u_3 - u_4) + \cdots + (u_{2m-1} - u_{2m})$$
$$s_{2m+1} = u_1 - (u_2 - u_3) - (u_4 - u_5) - \cdots - (u_{2m} - u_{2m+1})$$

可以发现，偶数项部分和递增趋于极限，奇数项部分和递减趋于极限，两者位于极限两侧，因此部分和序列会不断的穿越极限值。这可以给我们关于截断误差的启示。

定理：交错级数估计定理

若交错级数$\sum (-1)^{n+1} u_n$满足上面判别法之条件，则部分和的截断误差$|L - s_n| < u_{n+1}$，且$L - s_n$与第$n+1$项有相同的符号。

注：该定理给出了误差的一个界，这个估计一般来说是相当保守的。

绝对收敛

一个级数$\sum a_n$绝对收敛，如果对应的绝对值级数$\sum |a_n|$收敛。

交错调和级数收敛，它的绝对值级数是调和级数不收敛。直觉上，绝对收敛比收敛是更强的条件。

条件收敛

如果一个级数收敛但不是绝对收敛的，称之为条件收敛。

因此交错调和级数条件收敛。

定理：绝对收敛判别法

若一个级数绝对收敛，则其自身收敛。

例：交错p级数，由莱布尼兹定理，p级数总是收敛的，当$p > 1$时绝对收敛，其它时候条件收敛。

重排级数

定理：绝对收敛级数的重排定理

若$\sum a_n$绝对收敛，而$\sum b_n$是$\sum a_n$的任意重排，则$\sum b_n$也绝对收敛，且两个级数收敛于同一值。

注：若重排的是条件收敛级数的无穷多项，我们可能得到远远不同于原级数和的结果，一般的结论是黎曼级数定理-Riemann’s Rearrangement Theorem。见下例。

例：交错调和级数重排后可以发散或收敛到任何预先指定的和。详见8.5 例8。

级数敛散性判别法一览

幂级数

- Power Series

若$|x| < 1$，则由几何级数公式可知

$$1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}$$

等式右端定义了一个函数，左端也是一个函数，尽管它的形式有点“奇怪”——无穷多项的和。在本节，我们将讨论像$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$这样的无穷多项式。

幂级数及收敛

表达式$\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$像是一个多项式，但多项式仅包含有限阶，故此表达式不能认为是一个简单的多项式，正如无穷级数不是一个简单的和。

定义：幂级数

形如

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = c_0 + c_1x + \cdots + c_nx^n + \cdots$$

的表达式是一个中心在$x = 0$的幂级数。形如

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + \cdots + c_n(x-a)^n + \cdots$$

的表达式是一个中心在$x = a$的幂级数。项$c_n(x-a)^n$是第$n$项，数$a$是中心。

多项式估计

我们把等式$1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}$右端看作左端的级数和的公式。也可以从那个另一个角度来看：设想左端级数的部分和来逼近右端的函数。对于靠近$x = 0$的点，只要去少数几项就得到一个好的逼近，当靠近1或-1时，则需要取更多项来逼近。

这样，我们是以多项式函数来逼近一个函数。

收敛半径和区间

本节开头提到的幂级数在$(-1, 1)$上收敛，对于一般的幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$来说，它总是在$x = a$处收敛，这保证幂级数至少在一点上收敛。除了这两种情况，幂级数还可能对所有实数收敛，下面的定理说明，这三种情形就是幂级数收敛的所有可能。

定理：幂级数收敛定理

$\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$的收敛有三种可能：

1. 存在一个正数$R$，使得级数当$|x - a| > R$时发散，$|x - a| < R$时收敛，在两个端点处则既可能收敛也可能发散；
2. 级数对每个$x$收敛（$R = \infty$）；
3. 级数在$x = a$收敛，其它点发散（$R = 0$）。

$R$称为收敛半径，所有使级数收敛的点集是收敛区间。

例：通过比值判别法可知：

• $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$收敛区间为$(-1, 1]$
• $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}$收敛区间为$[-1, 1]$
• $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$收敛区间为$(-\infty, \infty)$
• $\sum_{n=0}^{\infty} {x^n}{n!}$仅在$x = 0$处收敛。

收敛区间求解步骤

• 先使用比值判别法或n次根判别法求解级数的绝对收敛区间
• 若收敛半径有限，检查其端点
• 级数在收敛半径之外的点发散，因为其第n项不趋于零。

逐项求导

定理：逐项求导定理

级数$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$的收敛为$R > 0$，则它在$(-R, R)$上定义了一个函数$f(x)$，$f$在收敛区间内部有所有阶的导数，此导数可通过对原级数逐项求导而得，而且这些经求导所得的级数在原级数收敛区间的每一点收敛。

逐项积分

从略。

幂级数的乘法

绝对收敛级数可以像多项式那样相乘，所得的新级数也绝对收敛，且其和为原来的两个级数之乘积。

泰勒级数与麦克劳林级数

我们借由对级数的了解来分析幂级数，求出幂级数的和，可以认为是以幂级数表示函数，也可以用幂级数来近似函数。在本节，我们将讨论使用更一般的技术来构造幂级数，充分地使用微积分工具。多数情况下，这些级数提供了原函数的多项式逼近。

构造一个级数

现在已经知道，在幂级数的收敛区间内部，幂级数的和是一个具有各阶导数的连续函数。那么反过来是否成立？即如果一个函数$f$在区间$I$上具有各阶导数，它能够表示成一个幂级数吗？如果能，它的系数是什么？

这是两个问题，先看后一个，它的各项系数会是什么呢？

设$f$是一个有正收敛半径的幂级数之和：$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$，在收敛区间$I$内重复使用逐项求导，对于一阶导数，有：

$$f’(x) = a_1 + 2a_2(x-a) + \cdots + na_n(x-a)^{n-1} + \cdots$$

此时，令$x = a$，得到$f’(a) = a_1$

重复此过程，可得到各系数的值，一般的有$f^{(n)}(a) = n!a_n$。此结论说明，如果存在这样一个级数（这是第一个问题，尚未解决），则该级数是唯一确定的。

那么，如果我们从任意一个以$a$为中心的区间$I$上无穷次可微的函数出发，用它按上述结论生成一个级数，那么在$I$的内部的每个点，该级数都收敛到$f$吗？答案是两可的。

目前的结论是，如果该级数存在，其各系数是唯一确定的，而级数的存在性尚未确定。那么我们先放下存在性不管，以上述方式生成一个级数，然后来考察该级数的收敛性，如果它收敛，我们就得到了需要的级数。

泰勒级数与麦克劳林级数

注：泰勒级数是由英国数学家布鲁克·泰勒在1715年发表的。

定义：泰勒级数

设$f$是一个在包含$a$为内点的区间$I$内存在所有阶导数的函数，由$f$生产的泰勒级数是

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = f(a) + f’(a)(x-a) + \frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

若$a = 0$，则生成的级数称为麦克劳林级数。

例：$f(x) = 1/x$在$a = 2$生成的泰勒级数为$\frac{1}{2} - \frac{(x-2)}{2^2} + \frac{(x-2)^2}{2^3} - \cdots + (-1)^n \frac{(x-2)^n}{2^{n+1}} + \cdots$，该级数是一个几何级数，在$0 < x < 4$收敛到$\frac{1}{x}$。

泰勒多项式

一个可微函数在点$a$的线性化是多项式

$$P_1(x) = f(a) + f’(a)(x-a)$$

可以看到，线性化在形式上恰好是泰勒级数的前两项。如果$f$在$a$有更高阶的导数，那么它就有更高阶的多项式逼近，这些多项式称为$f$的泰勒多项式。

定义：$n$阶泰勒多项式

设$f$在一个包含$a$作为内点的一个区间内对$k = 1, 2, \cdots, N$有$k$阶导数。则对任何从0到$N$的整数$n$，由$f$在$x = a$生成的$n$阶泰勒多项式是：

$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

它在形式上是泰勒级数的前$n+1$项。恰如线性化提供了$f$的最佳线性逼近，高阶泰勒多项式提供了相应阶的最佳多项式逼近。

例：$f(x) = e^x$在$x = 0$的$n$阶泰勒多项式是

$$P_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$$

泰勒多项式的余项

当我们用泰勒多项式$P_n(x)$来逼近函数时，需要度量其精确程度。使用等式

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x)$$

定义了余项这一概念，余项$R_n(x)$的绝对值称为逼近的误差。下面的定理提供了估计泰勒多项式余项的途径。

定理：泰勒定理

若$f$在一个包含$a$的开区间$I$内是$n+1$阶可微的，则对$I$内的每个$x$，存在一个介于$x$和$a$之间的一个数$c$，使得

$$f(x) = P_n(x) + R_n(x)$$

$P_n(x)$即是$n$阶泰勒多项式，而（重点是）$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$。

也就是对任何满足前提条件的函数，泰勒多项式近似的误差都可以如此表示出来。分母增长很快，若$x$离$a$较近，那么泰勒多项式很快就可以给出相当好的近似。泰勒定理是中值定理的推广。

若对$I$内所有$x$，当$n \to \infty$时$R_n \to 0$，我们就说$f$生成的泰勒级数在$I$上收敛到$f$。

估计余项

定理：余项估计定理

如果存在正数$M$和$r$，使得对$a$和$x$之间所有$t$均有$|f^{(n+1)}(t)| \leq Mr^{n+1}$，则由泰勒定理可知余项满足不等式

$$|R_n(x)| \leq M \frac{r^{n+1}|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$$

在最简单的情形下，若$f$及其所有导数的绝对值都以$M$为界，那么我们可以去$r = 1$。其它情况下，则需要考虑其它值。

例：证明$\sin x$的麦克劳林级数对所有$x$收敛到$\sin x$。

证：$\sin x$的麦克劳林级数仅有奇次幂项，对$n = 2k+1$，泰勒定理给出

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2k+1}(x)$$

在余项估计定理中取$M = 1, r = 1$，得到

$$|R_{2k+1}(x)| \leq \frac{|x|^{2k+2}}{(2k+2)!}$$

$R_{2k+1}(x) \to 0$，由此可知，对每个$x$，$\sin x$的麦克劳林级数收敛到$\sin x$。

截断误差

由余项及余项估计定理，我们可以了解要达到某个期望的误差，泰勒多项式需要取到多少项。

组合泰勒级数

泰勒级数在它们的收敛区间的公共部分上可以进行加、减、常数乘、$x$的幂运算。从略。

积分

我们已经看到计算瞬时变化率的需要是如何导致人们研究切线的斜率，并引出我们称之为微分运算的导数。但导数揭示的仅仅是故事的一半，微积分除了描述函数在给定时间如何变化，还要描述那些瞬时的变化如何在一段时间内累积而产生该函数。也就是通过研究行为的改变来了解行为本身。例如，运动物体的速度能够决定作为时间函数的位置，人们还研究了曲边梯形的面积，这些研究导致产生了我们称之为积分学。

曾经，人们觉得求切线斜率和曲边梯形没有任何联系。牛顿和莱布尼兹却证明了凭直观发现的两者之间的内在联系。这个联系（微积分基本定理）的发现使得微分和积分运算一起成为数学家总能得到认识宇宙万物的最有力的工具。

不定积分、微分方程和建模

第一部分主要讨论的是求一个函数的导函数，一个自然的问题是，给定一个函数，如何求得它的反导数（原函数），即以它为导数的函数。

第一步是给出一个公式，该公式被称为不定积分，它给出了所有可能的反导数。第二步则是利用手头已知的函数值来选定一个特殊的反导数。

看起来这只是一个“理论上”的思路，因为要以一个公式给出所有反导数，似乎不大可能。但根据3.2的中值定理的推论，只要找到一个反导数，就能确定出不定积分了。

不定积分

一个函数$F(x)$称为另一个函数$f(x)$的反导数，如果

$$F’(x) = f(x)$$

对$f$定义域中的$x$成立。$f$的全体反导数组成的集合称为其关于$x$的不定积分，记作

$$\int f(x)dx$$

其中$f$称为被积函数，$x$称为积分变量。

按3.2中值定理推论，已知一个反导数$F(x)$，那么其它反导数与其仅相差一个常数，故有

$$\int f(x)dx = F(x) + C$$

其中$C$称为积分常数或任意常数。

例：$\int 2xdx = x^2 + C$

我们可以把导数公式表反过来作为初始的“反导数公式”表使用。

初值问题

已知函数的导数以及在一点$x_0$处的值$y_0$，求$x$的函数$y$的问题称为初值问题。

例：已知曲线在点$(x, y)$处的斜率为$3x^2$，并通过点$(-1, 1)$，求该曲线。

解：$\int 3x^2dx = x^3 + C$，又因为曲线通过点$(-1, 1)$，可知$C = -2$，故所求曲线为$y = x^3 - 2$。

如上，不定积分给出了微分方程的一般解，借由初值我们可以确定出特解。

数学建模

一般步骤：

• 观察现实世界行为
• 为确定变量及其关系作出假设，建立模型
• 求解模型得到数学解
• 解释模型并将其与现实世界的观察对照

积分法则与替换积分法

现在知道，要求不定积分，就是找出”一个“反导数，再加上积分常数即可。寻找反导数时，最简单的情形就是直接对应导数表的情形。略复杂的则是采用反导数的代数法则，这个可以通过导数的代数法则推导而来。

例：求$\sin^2x$的积分

解：$\int \sin^2xdx = \int \frac{1-\cos2x}{2}dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin2x}{4} + C$

积分形式的幂法则

若$u$是$x$的可微函数，那么由链式法则有$\frac{d}{dx} (\frac{u^{n+1}}{n+1}) = u^n \frac{du}{dx}$，反过来即有

$$\int (u^n \frac{du}{dx})dx = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$

等式左边可以用更简单的微分形式：$\int u^ndu$，这里将$\frac{du}{dx} dx$写成$du$像是把$dx$给抵消了。也可以这样理解，$du = u’dx = \frac{du}{dx}dx$。关键是，转化为这种形式后，就可以看作是直接求关于$u$的积分。

例：$\int \sqrt{1+y^2} \cdot 2ydy = \int u^{1/2}du = \frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+y^2)^{3/2} + C$

此法则实际上给出了一种更通用的积分法，即链式法则的逆用。其关键是找出一个合适的中间函数$u$，将原积分转换为关于$u$的积分，而且后者更容易求解。这就是替换法。

替换积分法

上述思想之推广。

用有限和估计（Estimating with finite sums）

用有限和估计，我们最熟悉的大概是求曲线所围的图形之面积，或是求圆的面积，球体的体积之类的问题。另外，考虑通过速度函数求位移，和面积本质上也是一样的。这些问题都是先将区间切分为几个小区间，然后在每个小区间上取某个点的函数值，求其于区间长度之乘积，然后再求和。这个”和“是真实值的近似值，而且当切分地越来越细时，误差也会减少。这就是为什么称之为有限和估计。

再来看一个不那么明显的问题。假设有一个非负函数，比如$y = x^2$，那么它在闭区间$[-1, 1]$上是否有平均值？

一般而言，平均值所涉乃是有限个值的算数平均值，那么对于连续区间上的值来说，平均是什么意思呢？如果我们考虑对函数值随机抽样，从值域中随机抽取相当多个值，那它们的平均值是不是可以算作平均值的近似呢？这样，我们不妨认为平均值是有意义的。一旦有了意义，那么实际上函数平均值还可以有更直观的理解。我们把原曲线与数轴所围之图形归约为同面积的矩形，平均值就是该矩形的宽，矩形的长已知，而矩形的面积等于曲线梯形的面积，此面积可由上述有限和估计的思路求得，如此一来，平均值可用面积除以区间长度而得到！这确实是很让人意外的结果：）

综上，不论是面积、位移还是平均值，我们都把问题归结为同一个问题：函数值乘以子区间长度之和。该有限和随着子区间的细分而越发精确。在位移问题中，一段时间的位移，可以通过先求速度函数的反导数，在代入反导数求值得到。那么这一类问题与反导数的关系是巧合吗？反导数是否也可用于面积与平均值问题？答案当然是肯定的：）

例：通过正多边形面积估计圆的面积，圆取单位圆，其面积为$\pi$，多边形的边数取4、8、16这样。

解：圆的内接正多边形面积可用下面的函数表示（Python）

1
2
3
4
5
6
7
8

import math
def s(n):
    theta = 2 * math.pi/n
    return 0.5 * n * math.sin(theta)
     
for i in range(2, 16):
    n = 2 ** i
    print(n, area(n))

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

4 2.0
8 2.82842712474619
16 3.0614674589207183
32 3.121445152258052
64 3.1365484905459393
128 3.140331156954753
256 3.141277250932773
512 3.141513801144301
1024 3.1415729403670913
2048 3.1415877252771596
4096 3.1415914215111997
8192 3.1415923455701176
16384 3.1415925765848725
32768 3.1415926343385627

可以看到多边形的面积确实是越来越接近圆面积的。

黎曼和与定积分

上述的有限和估计中，和中的项由选择的函数值乘以子区间长度而得。那么怎样让估计的误差越来越小？甚至是能否求出准确值？本节来考虑这些问题，由有限和的定义出发，所考虑的两点是：让子区间越来越小趋近于零，选择的函数值对最终值有何影响？

黎曼和

我们感兴趣的有限和是黎曼和，以伟大的数学家黎曼（Riemann）命名。现在给出黎曼和的准确定义。

$f(x)$是定义在闭区间$[a, b]$上的任意连续函数。将区间分割为$n$个子区间，$a$和$b$之间的分点记作$x_1, x_2, \cdots,x_{n-1}$，它们依次递增。为统一起见，记$a$为$x_0$，$b$为$x_n$，那么集

$${ x_0, x_1, \cdots, x_n }$$

称为$[a, b]$的一个划分。划分$P$定义$n$个闭子区间

$$[x_0, x_1], [x_1, x_2], \cdots, [x_{n-1}, x_n]$$

$[x_{k-1}, x_k]$称为$P$的第$k$个子区间，其长度为$\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$。

在每个子区间中，我们选择某个数，以$c_k$表示从第$k$个子区间中所选者。在每个子区间上，竖起一个垂直矩形，立于$x$轴，在$(c_k, f(x_k))$点接触曲线（与曲线相交，但在子区间上并不限于此一交点）。

在每个子区间上，作乘积$f(c_k) \cdot \Delta x_k $，乘积符号取决于$f(c_k)$。

最后，对乘积求和，$s_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(c_k) \cdot \Delta x_k$。这个依赖于划分$P$和数$c_k$的选择的和是$f$在区间$[a, b]$上的黎曼和。

其中步骤可以总结为：

1. 作划分
2. 在每个子区间上选择数
3. 在每个子区间上作乘积
4. 对乘积求和

随着划分不断变细，我们期望由划分确定的诸举行逼近$x$轴与$f$曲线之间区域的精度随之提高。与正多边形逼近圆的面积类似，我们期望该黎曼和有一个极限值。

求函数极限时，我们说$x$与$x_0$距离越来越小，那么对于黎曼和来说，我们需要划分不断变细。定义最长子区间的长度为划分的模，记为$||P||$，那么要求黎曼和的极限，我们需要$||P||$趋于零。如果该极限确实存在，那么称为定积分。

定积分

定义：设$f(x)$是定义在闭区间$[a, b]$上的一个函数，对于区间上的任意划分$P$，设$c_k$是$P$的第$k$个子区间上任意选取的数。如果存在一个数$I$，使得不论$P$和$c_k$如何选择，都有

$$\lim_{||P|| \to 0} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(c_k) \Delta x_k = I$$

则称$f$在$[a, b]$上是可积的，而$I$称为$f$在区间$[a, b]$上的定积分。

黎曼和和定积分的定义没有告诉我们如何确定定积分是否存在，故下面的定理非常有用：

定积分的存在性：

所有连续函数是可积的，即如果一个函数在$[a, b]$上是连续的，那么它在该区间上的定积分存在。

定积分表示

按莱布尼兹的记号，上述由黎曼和极限表示的定积分可以表示为

$$\int_{a}^{b} f(x)dx$$

读作”从$a$到$b$，$f(x)dx$的积分“，或”从$a$到$b$，$f(x)$对于$x$的积分“。$a$、$b$分别称为积分，$f(x)$为被积函数，$x$是积分变量。

函数在任何特定区间上的定积分值依赖于函数而不依赖于表示其自变量的字母。对于同一函数$f$，不论积分变量是$x$还是$t$，其结果都是同一个数。故积分变量称为哑元。

定积分与曲面梯形之面积

现在再考虑之前以有限和估计面积，会发现小矩形面积之和正是黎曼和。那么对于在$[a, b]$上可积的非负函数来说，该区间对应的曲线下的面积定义为定积分的值。

有了这一定义，我们可以从面积计算积分，反之亦然。

函数平均值

类似地，可以定义函数的平均（中）值：

若$f$在$[a, b]$上可积，则它在$[a, b]$上的平均值是

$$av(f) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx$$

定积分的性质

在定积分的定义中，由于它定义在闭区间上，那么自然地上限大于下限。但我们可以将定义扩展到上限小于或等于下限的情形：

• $\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$
• $\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$

以面积来思考，可以从直观上得到其它几条性质

• 可加性：$\int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx$
• 最大-最小表达式
• 控制：$f(x) \geq g(x) \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx \geq \int_{a}^{b}g(x)dx$

中值定理与基本定理（The mean value and fundamental theorems）

本节介绍积分学的两个最重要的定理，即定积分的中值定理和基本定理。基本定理至今仍被看作历史上最重要的计算方面的发现。

中值定理

定理：如果$f$在$[a, b]$上连续，则在$[a, b]$中的某点$c$有

$$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}f(x)dx$$

证：由积分的最大-最小法则有$\min f \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}f(x)dx \leq \max f$

因为$f$是连续的，根据连续函数的中值定理可知，必定存在$[a, b]$中的某点$c$可以取到所要求的函数平均值。

该定理的连续性是关键。

微积分基本定理的第一部分

如果$f$是一个可积函数，那么从固定数$a$到另一数$x$的积分定义一个函数$F$，它的值是

$$F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$$

$F$由定积分表达式表示，但这确实是一个有效的函数定义。对于每一个$x$，均有唯一确定的值与之对应，此函数值即相应的定积分——一个数字。这个函数的定义与迄今所见的通常的函数定义相比，有点奇怪，但它是极为重要的，因为它建立起了积分和导数之间的联系，这就是基本定理的第一部分：

如果如果$f$在$[a, b]$上连续，则函数

$$F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt$$

在$[a, b]$的每个点$x$都可导，且

$$\frac{dF}{dx} = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x}f(t)dt = f(x)$$

也就是说$F(x)$的导数为$f(x)$。这一结论无疑是优美、深刻且令人惊异的，而该等式也成为数学中最重要的等式之一。它告诉我们每个连续函数必然是另一个函数的导数，它说明了积分和微分的过程是可逆的。

注意：这里等式$a$没有出现，这意味着无论积分下限取什么值，等式都成立。

例：$\frac{d}{dx} \int_{-p}^{x} costdt = \cos x$

$\int_{a}^{x}f(t)dt$是关于$x$的函数，尽管形式上与之前所见不太寻常，但我们大可以将其看作某个函数$F(x)$，它本质上就是一个寻常的函数。

例：求$y = \int_{1}^{x^2} \cos t dt$的导数。

解：此函数可以看作$F(x) = \int_{1}^{x} \cos t dt$与$u = x^2$的复合函数，应用链式法则得到：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot \frac{du}{dx}$$

$$ = cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos x^2$$

基本定理的第一部分证明这里从略，只提一下可以用定积分的中值定理证明。

微积分基本定理的第二部分

应用导数的中值定理推论2，可以证明微积分基本定理的第二部分：如果$f$在$[a, b]$的每个点连续，而$F$是$f$在$[a, b]$的任何一个反导数，则有

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) = \left.F(x)\right|_a^b$$

这一等式的形式很简单，但它的威力却是极强的。本来定积分的定义来自于黎曼和的极限，而要求这个极限是颇为繁琐的，涉及划分、函数值的选取和极限的求值，变化颇多，但这一等式却把整个过程简化为反导数的求解这一问题。无怪乎这个等式成为”基本定理“的一部分了。

面积计算

有了基本定理，面积的求解就成为了一个”计算“问题，只是要注意定积分不会区分”正面积“与”负面积“，一般我们所说的”面积“是两种面积绝对值之和，因此需要先确定负面积之区间。

定积分的变量替换（Substitution in Definite Integrals）

根据基本定理第二部分，求解定积分时，可以先求不定积分，这样不定积分的各种方法就用得上了，比如”替换积分法“。

另一方面，对定积分而言，它还可以直接应用变量替换。即：

$$\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g’(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$$

也就是说，变量替换之后，我们只要求新的（期望是简化了的）函数的积分，其积分上下限需要做相应的修改。

例：求$\int_{-1}^{1} 3x^2 \sqrt{x^3+1}dx$

解：令$u = x^3 + 1$，则原积分等于$\int_{0}^{2}\sqrt{u}du = \frac{4\sqrt{2}}{3}$。

作为一种选择，可以先求反导数再行计算。虽然在本例中，定积分的变量替换更简单，但并不总是如此，因此这两种方法都需要了解。

曲线之间的面积

若$f$和$g$连续且在$[a, b]$上有$f(x) \geq g(x)$，则在从$a$到$b$的两条曲线之间区域的面积是：

$$A = \int_{a}^{b}(f(x) - g(x))dx$$

数值积分

根据基本定理，对定积分求值时，最理想的方式是先求反导数再代入计算，但某些函数的反导数难以计算，甚至像$\frac{\sin x}{x}$和$\sqrt{1+x^4}$的反导数没有初等表达式。

当我们不能直接用反导数求出定积分的值时，我们转向梯形法和Simpson法这样的数值方法。

梯形法

在考虑有关定积分的问题时，用面积问题来获取直观理解是很有帮助的。求定积分即求曲边梯形的面积，如果我们把区间划分为多个小区间，那么在每个小区间上可以用简单曲线来近似原曲线。那么最简单的曲线就是直线了，采用直线近似时，在每个小区间上，用梯形面积近似原来的小曲边梯形的面积。当划分足够细，我们期望其误差足够小。

此方法除了可以直接应用于面积计算，也可以用于由离散值计算面积的近似值，因为若干连续分布的函数值，恰好是帮我们作好了一个划分：）比如有温度统计来计算一段时间的平均温度。

梯形法的误差分析从略。

抛物线逼近（Simpson法）

在上述面积近似问题中，如果我们用比直线复杂的抛物线来求近似值，我们期望误差会更小，这就是抛物线逼近法。

扩展

莱布尼兹法则

$$\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt = f(v(x)) \frac{dv}{dx} - f(u(x)) \frac{du}{dx}$$

证：设$F$是$f$的一个反导数，那么$\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt = F(v(x)) - F(u(x))$，对等式右边求导，应用链式法则即得到所需结论。

积分的应用

从上章可见，积分用于函数”累积之效“类型的问题颇具威力，无论是面积、体积，还是位移等等。其基本之法，在于以黎曼和之形式表示欲求解之问题，从而转化为定积分问题。本章将在此思路上引介几种新类型的问题，亦可见积分应用之广泛。

切片法求体积和绕轴旋转

恰如矩形之于曲线面积，若以柱体近似体积，则有立体体积之定义：

已知从$x = a$到$x = b$横截面积$A(x)$的立体，如果$A(x)$可积，那么立体的体积是$V = \int_{a}^{b} A(x)dx$。

在由小柱体近似立体体积时，就像将原立体切分为若干小的切片儿，此为切片法一名之由来。另外，由此定义可以立即得出中学几何中的卡瓦列里原理（祖暅原理）。

旋转体之体积

若一立体由一图像旋转所得，如球体，圆锥体之类，则容易将此类立体的体积求解转化为上面的切片法基本定义。因为旋转体的横截面积容易求得。

略复杂一点的情形是，曲线可以沿$x$轴之外的点直线旋转，如$y$轴或平行于$y$轴的直线等，其思路是一样的。

再复杂一点的是垫圈形横截面。此时横截面是一个圆环，还是可以求出来。

以圆柱薄壳模式计算体积

如果对$y$的积分不易计算，可转而考虑圆柱薄壳方法，这个方法比较巧妙，但仍是黎曼和的思路。

平面曲线的长度

你有没有想过，一个正弦波有多长？波长的通常意义是波的基本周期，对于$y = \sin x$来说是$2 \pi$。那么现在再次祭出我们的黎曼和来，看看能否解决之。

先作区间的一个划分，每个小区间上，曲线的长度如何近似？首先可以考虑的就是两个端点见的割线长度，割线的长度是$\sqrt{\Delta x_k^2 + \Delta y_k^2}$。这一形式还不是我们熟悉的黎曼和，我们需要将其表示为$f(c_k)\Delta x_k$的形式，通过变形有如下等式：

$$\sqrt{\Delta x_k^2 + \Delta y_k^2} = \sqrt{1 + (\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k})^2} \Delta x_k$$

而根据可微函数的中值定理，小区间上存在点$c_k$，使得$\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} = sin’c_k$，这样就得到了黎曼和。最终我们要求的波长为定积分：

$$\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+(sin’x)^2}dx \approx 7.64$$

注：在对一般函数应用上述计算过程时，函数需满足两个条件。首先函数是可微的，此外欲求积分，还要求函数的导函数是连续的。总之，此法求解曲线长度的要求是函数有连续的一阶导数。这一要求称为光滑，中学时所接触的函数都是光滑的，所以那时候老师总是说，要以光滑的曲线连接起几个点了，这就是其依据了。

其它长度形式暂从略。

弹簧、泵吸和提升；流体力；矩和质心

此三节内容不甚熟悉，暂亦不需要，从略。

超越函数（Transcendental Functions）和微分方程（Differential Equations）

至此我们对有理函数、三角函数的导数和积分有了一定了解，接下来就是极重要的对数函数和指数函数。函数$y = \ln x$在中学里只是一种特殊的对数函数，但学习了积分后，我们可以以另一种方式定义它，其中隐含的数学概念间的关联是让人颇感新奇的。

对数

定义：正数$x$的自然对数，记作$\ln x$，是一个积分值：

$$\ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt, x > 0$$

注意到被积函数总是取正值的。若$x > 1$，$\ln x$是曲线下区域的面积；若$0 < x < 1$，$\ln x$给出曲线下面积之负值；若$x \leq 0$，则函数无定义。还有，$\ln 1 = 0$

对数函数的导数

根据基本定理，易得自然对数函数的导数，即：

$$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$

所以导数总为正，函数在定义域内是递增的，二阶导数则恒为负，$\ln x$的图像是凹向下的。

进一步，由链式法则可知，复合函数$\frac{d}{dx}\ln u = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$。

下面是对数的三个法则：

• $\ln ax = \ln a + \ln x$
• $\ln \frac{a}{x} = \ln a - \ln x$
• $\ln x^n = n \ln x$

$\int (1/u)du$的积分

看起来有点无赖，但我们将积分定义为对数函数后，这一类函数的积分就有了显式的表达式了，是故：

$$\frac{1}{u} = \ln |u| + C$$

到这里，所有形如$u^ndu$的积分都可以求解了，其中包括了$\tan x$和$\cot x$：

• $\int \tan x dx = \ln |\sec x| + C$
• $\int \tan x dx = -\ln |\csc x| + C$

对数微分法

在表达式涉及指数式，对数可将其大幅度简化为几个对数的四则运算，辅之以链式法则，这就是对数微分法。

例：求$y = \frac{(x^2+1)(x+3)^{1/2}}{x-1}$的导数。

解：$\ln y = \ln (x^2+1) + \frac{1}{2}\ln (x+3) - \ln (x-1)$，余略。

$\log_a u$的导数

先采用换底公式将其转换为自然对数，它只比自然对数多了一个常系数。

指数函数

中学数学中，对数函数定义为指数函数的反函数。现在对数函数借由积分定义了出来，指数函数定义为对数函数的反函数。在导数已经提及，一个函数与其反函数存在着一定的关系，即：

$$(f^{-1})’ = \frac{1}{f’}$$

需要注意的是，$f$上的点$(a, f(a))$对应于$f^{-1}$上的$(f(a), a)$。

函数$\ln x$定义域为全体正实数，且是增函数，那么它有自己的反函数。我们把$\ln^{-1} 1$用$e$表示。

$e$是一个无理数，且是超越数。

自然指数函数

$e$是一个正实数，那么我们可以定义以它为底的指数函数$y = e^x$。对其求对数，有：

$$\ln e^x = x \ln e = x$$

所以$y = e^x$实际上就是$y = \ln x$的反函数。

$e^x$的导数与积分

使用对数积分法，可以得到一个结论：

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

注：超越数

$a^x$的导数与积分

根据对数函数的性质，$a^x = e^{x \ln a}$，所以一般指数函数的导数可以转化为自然指数的导数：

$$\frac{d}{dx}a^x = \ln a a^x$$

由此可知，若$a > 1$，那么导数为正，函数递增，否则导数为负，函数递减。而二阶导数恒为正，所以指数函数总是凹向上的。

由上述导数可求得指数函数的积分：

$$\int a^xdx = \frac{1}{\ln a}a^x + C$$

例：求$\int \frac{dx}{1+e^x}$

解：令$u = 1 + e^x$，则有$dx = \frac{du}{u-1}$，同时利用等式$\frac{1}{u} \cdot \frac{1}{u-1} = \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u}$可解。

反三角函数的导数与积分

反三角函数在数学、物理与工程上应用颇为广泛，本节讨论其导数与积分。上节提到对数微分法，反三角函数的导数求解起来也有类似思路。

反三角函数的导数

$y = \sin^{-1} x$，故$\sin y = x$，两边求导有：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

类似地，$\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$，$\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

对另外三个反三角函数（余..），利用它们与上面三个（正..）函数的关系可知，它们的导数是相对应函数导数的负值。

反三角函数的相关积分

从导数反推过来，得到：

• $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$
• $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$
• $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2 - a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}|\frac{u}{a}| + C$

一阶可分离变量微分方程

（Linear First Order Differential Equations）

在初次接触隐函数求导法时会发现，导数$\frac{dy}{dx}$的表达式中经常同时包含变量$x$和$y$，本节讨论的初值问题中就包含此类形式的导数。

一阶微分方程是关系

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

方程右边是一个二元函数。此方程的一个解是定义在关于$x$值的一个区间上的可微函数$y(x)$，使得在此区间上

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y(x))$$

例：函数$y = \frac{1}{x} + \frac{x}{2}$是方程$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{y}{x}$的一个解。

可分离变量方程

方程$y’ = f(x, y)$是可分离变量的，如果$f$可表示为一个$x$的函数与一个$y$的函数的乘积。此时方程有形式

$$\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$$

若$h(y) \neq 0$，那么

$$\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} = g(x)，两边取积分$$

$$\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx} dx = \int g(x)dx，即$$

$$\int \frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx$$

此时$x$和$y$已经分离，接下来积分两端，把$y$表示为$x$的显函数或隐函数。

线性一阶微分方程

如果一阶微分方程可以写成形式

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

则它是线性一阶微分方程，此形式是它的标准形式。

例：把下面方程表示成标准形式：$x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y, x > 0$

解：方程可以变形为：$\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$，是为标准形式。

标准形式的解

线性方程

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

的解是

$$y = \frac{1}{v(x)} \int v(x)Q(x)dx$$

其中

$$v(x) = e^{\int P(x)dx}$$

在$v$的公式中，我们不需要$P(x)$的最一般形式的反导数，任一反导数都适用。

具体求解可参考书本。大体先使用分部积分的思路，使用一个未知的$v$辅助，而$v$本身的求解是一个较简单的可分离变量微分方程。

Euler法

如果我们不需要或者不能够理解求得初值问题$y’ = f(x, y), y(x_0) = y_0$的精确解，那么或许可以使用计算机产生一个表，列出在一个适当区间内的$x$值和对应的$y$的近似值，这样的一个表称为问题的数值解，而生成此表的方法称为数值方法。数值方法一般是快速和准确的。本节涉及的是Euler法。

Euler法（Euler’s Method）

给定微分方程$y’ = f(x, y)$和初条件$y(x_0) = y_0$，我们可以用它的线性化

$$L(x) = y(x_0) + y’(x_0)(x - x_0)$$

来逼近解。函数$L$给出解在$x_0$附近的一个小区间上的好的逼近，Euler法的原理是把一系列线性化拼接起来以便在一个较长的区间上逼近曲线。这是一个迭代的过程，其结果是一条折线来近似原来解的曲线。

双曲函数（Hyperbolic Functions）

注：双曲函数

每个定义在以原点为中心的区间上的函数都能以唯一的方式写成一个偶函数和一个奇函数的和：

$$f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$$

在等式右边，第一部分是偶部分，第二部分是奇部分。如果以这种方式分写$e^x$，它的偶部分和奇部分分别称为双曲余弦和双曲正弦。它们都是有用的函数，可用以描述弹性固体中波的运动，悬挂的电能线的形状等。

定义

$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

按一般三角函数的方式可以定义出另外四个双曲三角函数，更奇妙的是它们之间满足一些恒等式，看起来颇近于一般的三角恒等式。甚至连导数和积分也是如此。

然后也可以定义反双曲函数，它们的主要应用体现在积分中。比如我们有导数

$$\frac{d(\tanh^{-1} x)}{dx} = \frac{1}{1-x^2}$$

那么右侧看起来很简单的函数的积分就可由反双曲函数来表示了。

积分技术、洛必达法则和反常积分

至此已经对积分及其应用有了一定的了解。具体的积分法，主要是两个：代数处理和变量替换。前者让我们得以处理函数的组合或对函数进行必要的变换，后者则借由链式法则将被积函数简化为更熟悉的函数。本章将介绍更为复杂的方法，即分部积分，然后将积分推广到某些反常的积分，即积分限是无穷的，或被积函数是无界的。此外，还介绍计算分式极限时非常有效的洛必达法则，尽管该法则实际上是约翰·伯努利发现的。

基本积分公式

此处是下载自Wikipedia的积分表，有了这张表，加上代数处理和变量替换，我们已经能够对大量的函数求积。

代数处理

常见代数处理法有：

• 配平方
• 三角恒等式
• 消去平方根：如$\sqrt{1 + \cos 4x} = \sqrt{2 \cos^2 2x} = \sqrt{2} |\cos 2x|$
• 化简假分式：使用分式除法（多项式长除法）

分部积分

乘积的积分一般不等于各因子积分之乘积。分部积分是简化函数乘积之积分的一种技术。

导数的乘法法则是：

$$(uv)’ = u’v + v’u$$

两边关于$x$积分，得到$\int uv’dx = \int (uv)’dx - \int vu’dx$，整理后得到如下公式：

$$\int udv = uv - \int vdu$$

该公式将一个积分表示为第二个积分，当然我们期望的是第二个更容易求解。这里$u$和$v$的选取很关键，一般来说，首先需要求$dv$的积分，因此这一部分需要容易积分；其次$du$应至少不比原来的更复杂，这样才可能简化。

例：求$\int x \cos x dx$

解：按上面的两点来看，两因子的积分都易求，但如果选择$x$作为$v’$，那么新积分不会变得更容易，而选择$u = x, dv = \cos xdx$则满足要求。

例：求$\int \ln xdx$

解：令$u = \ln x, v’ = 1$。

重复使用

有时需要不止一次地使用分部积分，如$\int x^2e^xdx$。

上例重复使用时，所求积分逐渐简化，而有时需要求解两次积分，虽然看起来并没有简化，但已经足够求出，比如$\int e^x \cos xdx$。

列表积分法

在重复使用分部积分时，其中的一个函数逐渐简化，由于其中的符号不断变化，可以考虑列表积分法。

部分分式（Partial Fractions）

本节考虑有理函数的积分。

对于分式$\frac{1}{x(x-1)}$的积分，直接求解也可以，但还有更简单的方法，就是将其展开为两个分式$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$，这样一下就简单了很多。这种展开技术称为部分分式法，使用部分分式法，任一个有理函数都可以写成称为部分分式的基本分式之和，从而可以把有理函数的积分转化为部分分式积分之和。

这么做意味着部分分式的积分是易求的。果真如此吗？下面来仔细分析之。

何为部分分式？

部分分式满足以下条件：

• 分母须为不可约多项式（Irreducible Polynomial）或其幂
• 分子次数低于分母

分解为何种部分分式？

对有理函数$\frac{f(x)}{g(x)}$，

• 如果它不是真分式，那么先用$g(x)$除$f(x)$，之后对其余项进行操作。
• 得到真分式后，找到$g(x)$的因子。理论上，任何实系数多项式都可以写为实线性因式与实二次因式的乘积。
• 当$g(x)$因式已知时，使用待定系数法解之。

例

求积分

$$\int \frac{2x^3 - 4x^2 - x - 3}{x^2 - 2x - 3}dx$$

解：该分式不是真分式，先作除法化简之，得到原式$= 2x + \frac{5x-3}{x^2 - 2x - 3}$。

接下来需要找出分子的因式，本例较简单，即$(x+1)(x-3)$。

然后使用待定系数法即$\frac{5x-3}{x^2 - 2x - 3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-3}$，消去分母，解联立方程组，得到各待定系数之值，剩下的就是对简单分式进行积分了。

Heaviside 掩盖法

使用待定系数法时，若分母可分解为相异线性因式时，Heaviside法可以更快速地求出各系数之值。

确定系数的其它方法

• 求导法：求导可以降低多项式的次数
• 指定特定$x$的值：可以快速求解方程

三角替换

三角替换能让我们用单个平方项代替二项式$a^2+x^2$，$a^2-x^2$和$x^2-a^2$，从而能使得含平方根的积分变换为可以直接求出的积分。

最简单的思路是想象有一个直角三角形，以$a$和$x$代替其中的边，比如

• $a^2+x^2$：$x = a \tan \theta$
• $a^2-x^2$：$x = a \sin \theta$
• $x^2-a^2$：$x = a \sec \theta$

积分表、计算机代数系统与Monte Carlo积分

积分表无须多说。

计算机代数系统（CAS，如Mathematica或Maple）中可以方便的求符号积分。

Monte Carlo积分

前面提到过求积分近似值的梯形法和Simpson法，另一种方法是Monte Carlo法。

该方法原来容易理解。通过求解面积来求积分值，然后随机生成大量的点，统计落在指定区域内的点，以此来估计面积值。这个过程需要一个随机数生成器。

洛必达法则（L’Hopital’s Rule）

约翰·伯努利发现了一个求分式极限的法则，该分式的分子和分母都趋于零。如今这个法则被称为洛必达法则。至于为什么，请查看相关的数学史。

对于一个分式$f(x)/g(x)$，若$f$和$g$都连续，如果两者在$a$处取值都为零，那么分式在$a$处的极限就不能代入求解了，这种分式称为不定型（Indeterminate Form）。其实我们在求函数导数时，如果函数在一点可导，那我们处理的就是不定型。$\lim_{x \to 0} \sin x/x$也是不定型。可以说，不同不定型极限的求解难度有所不同，对于较难的那些，洛必达法则提供了一个可考虑的方法。

洛必达法则（第一种形式）

第一种形式是：假定$f(a) = g(a) = 0$，$f$和$g$在$a$处都可导，且$g’(a) \neq 0$，则有

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f’(a)}{g’(a)}$$

其证明可由导数定义式得出。如果在求导之后还是不定型，那么可考虑如下的加强形式。

洛必达法则（加强形式）

假定$f(a) = g(a) = 0$，$f$和$g$在包含$a$的一个开区间$I$上是可微的，且当$x \neq a$时，在$I$上有$g’(x) \neq 0$，则当$\lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$存在时，

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}$$

加强形式把一个极限转换为了另一个更”低阶“的极限，在经过若干次之后，可能会得到最后的极限值。

其它不定型之一

除了$0/0$不定型，还有$\infty/\infty$、$\infty \cdot 0$和$\infty - \infty$。同样可以使用洛必达法则（加强形式）。

有时需要转换：$\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sin h}{h}$，这里令$h = 1/x$

其它不定型之二

其它的不定型还有形如$1^{\infty}, 0^0, \infty^{0}$这样的，此时可考虑先用洛必达法则求出其对数的极限，再取指数。其依据是

$$\lim_{x \to a} = L \Rightarrow \lim_{x \to a}f(x) = \lim_{x \to a} e^{\ln f(x)} = e^{\lim_{x \to a} \ln f(x)} = e^L$$

例1：求$lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x$ ($1^{\infty}$，结果为$e$)

例2：求$\lim_{x \to 0^+}x^x$ ($\frac{-\infty}{\infty}$，结果为1）

例3：求$\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$ (${\infty}^0$，结果为1)

反常积分

目前为止，我们所求定积分的积分限是有界的，而且被积函数在此区间的值域是有界的。当这两个条件至少有一个不满足时，所求的积分称为反常积分（Improper Integrals）。

无穷积分限

考虑第一象限中位于曲线$y = e^{-x/2}$之下的无界区域，由于曲线向右侧无限延伸，看上去其面积应该是无穷大的，但后面会看到不是这样的。在计算这种情形的面积之前，先要给出它的定义。

如果不是向右无限延伸，而是考虑在区间$[0, b]$范围内的面积，那么它的值是

$$A(b) = \int_{0}^{b}e^{-x/2}dx = -2e^{-b/2} + 2$$

然后再求当$b \to \infty$时$A(b)$的极限，结果是2。我们认为第一象限内无界区域的面积是2。将此思路推广就得到有无穷积分限的反常积分：

有无穷积分限的积分是反常积分。

1. 若$f$在$[a, \infty)$是连续的，则$\int_{a}^{\infty}f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b}f(x)dx$
2. 若$f$在$(-\infty, a]$是连续的，则$\int_{-\infty}^{a}f(x)dx = \lim_{b \to -\infty} \int_{b}^{a}f(x)dx$
3. 若$f$在$(-\infty, \infty)$是连续的，则$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{a}f(x)dx + \int_{a}^{\infty}f(x)dx$

在部分1和2，若极限是存在的，则称反常积分收敛且极限为积分的值，否则称积分是发散。在部分3，若右边的两个积分都收敛，则左边的积分收敛，否则发散；而且其中$a$的选择可以是任意的。

例1：$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} = \pi$

例2：$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^p}$。

解：函数$y = 1/x$是加在形如$y = 1/x^p$的被积函数的收敛与发散反常积分之间的边界。

• 当$p > 1$，积分收敛于$\frac{1}{p-1}$
• 当$p <= 1$，积分发散

无界不连续函数的积分

反常积分的另一情形是在积分限内函数是无界的。如曲线$y = 1/\sqrt{x}$之下从$x=0$到$x=1$之间的无界区域。其思路与无穷积分限一致，将其转化为积分之极限。

有了这两类反常积分的定义，我们可以把积分应用在更多的问题上，如一个无限延伸的曲线下的面积，不连续曲线下的面积等等。

收敛和发散的判别法

如果不能直接求出积分，那么需要先确定它是收敛还是发散的，如果是收敛的，再以数值方法逼近它的值。有两种方法：

直接比较判别法

设$f$和$g$在$[a, \infty)$上连续且对所有$x \geq a$有$0 \leq f(x) \leq g(x)$，则

1. 若$\int_{a}^{\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$收敛
2. 若$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$发散，则$\int_{a}^{\infty}g(x)dx$发散。

极限比较判别法

设正函数$f$和$g$在$[a, \infty)$上连续，并且

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L, 0 < L < \infty$$

那么$\int_{a}^{\infty}f(x)dx$和$\int_{a}^{\infty}g(x)dx$同时收敛或发散。

注：该判别法只是判断是否收敛，当两者同时收敛时，不一定收敛于同一值。

Functions

定义函数

1

f[x_] := x^x

Plotting

1

Plot[x^x, {x, -1, 1}]